第二章阵列数学基础：零基础快速复习

适用课程：西安电子科技大学《阵列信号处理》
目标：用最短时间建立后续波束形成、MUSIC、ESPRIT、空间平滑等算法所需的数学基础，并优先掌握考试可直接得分的定义、公式、判断和 MATLAB 用法。
本文以当前课程大纲的 13 项要求为主线，交叉核对第二章讲义、2021/2022 年试题及后续章节中的相关知识。

0. 使用方法

0.1 掌握等级

【必须掌握】：能脱离资料写出定义和公式，并完成简单计算。
【熟悉】：能解释意义、辨别条件、看懂或补全推导。
【了解】：知道表达式、用途和 MATLAB 函数即可。

0.2 时间紧时的学习路线

如果只有约 3 小时：

先背第 1 节“一页必背清单”。
重点学习第 2～8 节：线性空间、内积、子空间、投影、EVD、复变量求导。
学习第 9～11 节：噪声、常用矩阵、Kronecker/Khatri–Rao。
完成第 14 节专项练习和第 15 节自测。

如果有半天：

按顺序完整学习。
所有例题手算一遍。
在 MATLAB 中运行第 12 节代码。
自测达到 80 分再进入第三章。

0.3 当前大纲 13 项要求与复习深度

大纲要求	应达到的程度	常见考法	重要度
1. 线性空间	会定义“加法、数乘封闭”	填空、判断	★★★★
2. 内积与希尔伯特空间	会写复内积及性质	填空、名词解释	★★★
3. 子空间与基	会判断、会求 span、基和维数	填空、选择	★★★★
4. 值域与零空间	会写集合定义和秩-零度关系	填空、选择	★★★★
5. 独立与不相关	会写数学定义和逻辑关系	填空、判断、简答	★★★★
6. 线性变换	会写线性条件	填空、判断	★★★
7. 正交投影与正交变换	会计算投影矩阵和正交补	选择、推导、后续算法	★★★★★
8. 特征分解	会写 EVD、性质和 `eig`	程序、推导、后续算法	★★★★★
9. SVD 与 QR	会写表达式、用途和函数	填空、程序	★★★
10. 实函数对复变量求导	会用 Wirtinger 导数求二次型	推导题	★★★★★
11. 白噪声与色噪声	会写相关函数和功率谱	填空、判断	★★★★
12. 阵列常用矩阵	掌握范德蒙、Hermitian、正定、广义特征分解	填空、选择、推导	★★★★★
13. Kronecker 与 Khatri–Rao	会写定义、维数和列式	填空、建模	★★★

1. 一页必背清单

1.1 线性空间与子空间

集合 (V) 是域 (\mathbb F) 上的线性空间，核心条件是：

$$ \forall\mathbf x,\mathbf y\in V,\quad \forall a,b\in\mathbb F,\quad a\mathbf x+b\mathbf y\in V $$

也就是对加法和数乘封闭。

由向量组 ({\mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_p}) 张成的子空间：

$$ \operatorname{span}\{\mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_p\} = \left\{ \sum_{i=1}^{p}c_i\mathbf a_i: c_i\in\mathbb F \right\} $$

基 = 线性无关 + 能张成整个空间。基中向量数等于维数。

1.2 内积、范数与正交

复向量的标准内积：

$$ \langle\mathbf x,\mathbf y\rangle =\mathbf x^H\mathbf y $$

范数：

$$ \|\mathbf x\|_2 =\sqrt{\mathbf x^H\mathbf x} $$

正交：

$$ \mathbf x^H\mathbf y=0 $$

标准正交：

$$ \mathbf q_i^H\mathbf q_j=\delta_{ij} $$

1.3 值域、零空间与秩

对 (\mathbf A\in\mathbb C^{m\times n})：

$$ \mathcal R(\mathbf A) =\{\mathbf y\in\mathbb C^m: \mathbf y=\mathbf A\mathbf x,\ \mathbf x\in\mathbb C^n\} $$

$$ \mathcal N(\mathbf A) =\{\mathbf x\in\mathbb C^n: \mathbf A\mathbf x=\mathbf0\} $$

$$ \operatorname{rank}(\mathbf A) =\dim\mathcal R(\mathbf A) $$

秩-零度定理：

$$ \operatorname{rank}(\mathbf A) +\dim\mathcal N(\mathbf A)=n $$

1.4 独立与不相关

不相关：

$$ \operatorname{cov}(X,Y) =E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)^*]=0 $$

零均值时：

$$ E[XY^*]=0 $$

关系：

$$ \text{独立}\Longrightarrow\text{不相关} $$

反过来一般不成立；若 (X,Y) 联合高斯，则不相关等价于独立。

1.5 正交投影

若 (\mathbf A) 列满秩：

$$ \boxed{ \mathbf P_{\mathbf A} =\mathbf A(\mathbf A^H\mathbf A)^{-1}\mathbf A^H } $$

若 (\mathbf A) 的列标准正交：

$$ \boxed{\mathbf P_{\mathbf A}=\mathbf A\mathbf A^H} $$

正交补投影：

$$ \boxed{\mathbf P_{\mathbf A}^{\perp} =\mathbf I-\mathbf P_{\mathbf A}} $$

投影矩阵性质：

$$ \mathbf P^H=\mathbf P,\qquad \mathbf P^2=\mathbf P $$

1.6 特征分解、SVD 与 QR

Hermitian 矩阵：

$$ \mathbf A=\mathbf A^H $$

特征分解：

$$ \boxed{\mathbf A=\mathbf U\boldsymbol\Lambda\mathbf U^H} $$

奇异值分解：

$$ \boxed{\mathbf A=\mathbf U\boldsymbol\Sigma\mathbf V^H} $$

QR 分解：

$$ \boxed{\mathbf A=\mathbf Q\mathbf R,\qquad \mathbf Q^H\mathbf Q=\mathbf I} $$

1.7 复变量求导

令 (\mathbf w=\mathbf x+j\mathbf y)：

$$ \frac{\partial}{\partial\mathbf w} =\frac12 \left( \frac{\partial}{\partial\mathbf x} -j\frac{\partial}{\partial\mathbf y} \right) $$

$$ \frac{\partial}{\partial\mathbf w^*} =\frac12 \left( \frac{\partial}{\partial\mathbf x} +j\frac{\partial}{\partial\mathbf y} \right) $$

若：

$$ f(\mathbf w)=\mathbf w^H\mathbf R\mathbf w $$

则：

$$ \boxed{ \frac{\partial f}{\partial\mathbf w^*} =\mathbf R\mathbf w } $$

1.8 白噪声

离散时间白噪声：

$$ R_n[k]=\sigma_n^2\delta[k] $$

功率谱：

$$ S_n(e^{j\omega})=\sigma_n^2 $$

空间白噪声：

$$ \mathbf R_n=E[\mathbf n\mathbf n^H] =\sigma_n^2\mathbf I $$

1.9 范德蒙、广义特征值

范德蒙向量：

$$ \mathbf v(z) = \begin{bmatrix} 1&z&z^2&\cdots&z^{N-1} \end{bmatrix}^T $$

ULA 导向矢量属于范德蒙形式。

广义特征值问题：

$$ \boxed{\mathbf A\mathbf v =\lambda\mathbf B\mathbf v} $$

1.10 Kronecker 与 Khatri–Rao

Kronecker 积：

$$ \boxed{ \mathbf A\otimes\mathbf B = \begin{bmatrix} a_{11}\mathbf B&\cdots&a_{1n}\mathbf B\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}\mathbf B&\cdots&a_{mn}\mathbf B \end{bmatrix}} $$

Khatri–Rao 积（两矩阵列数相同）：

$$ \boxed{ \mathbf A\odot\mathbf B = \begin{bmatrix} \mathbf a_1\otimes\mathbf b_1& \cdots& \mathbf a_K\otimes\mathbf b_K \end{bmatrix}} $$

2. 符号、复向量与内积

2.1 学到什么程度

【必须掌握】

区分转置 (T)、共轭 (*)、共轭转置 (H)。
会计算复内积、范数和正交条件。
会写内积的基本性质。

来源

课程大纲：PDF 第 2 页，第（2）项。
第二章讲义：PDF 第 2～4、9～10 页。
2022 年试题(1).pdf>)：PDF 第 1 页内积性质填空。

2.2 常用符号

对复向量 (\mathbf x)：

(\mathbf x^T)：只转置，不共轭；
(\mathbf x^*)：逐元素复共轭；
(\mathbf x^H=(\mathbf x^*)^T)：共轭转置。

例如：

$$ \mathbf x= \begin{bmatrix}1+j\\2\end{bmatrix} $$

则：

$$ \mathbf x^H= \begin{bmatrix}1-j&2\end{bmatrix} $$

2.3 内积的性质

采用：

$$ \langle\mathbf x,\mathbf y\rangle =\mathbf x^H\mathbf y $$

则有：

正定性
$$ \langle\mathbf x,\mathbf x\rangle\ge0 $$
且等号仅在 (\mathbf x=\mathbf0) 时成立。
共轭对称性
$$ \langle\mathbf x,\mathbf y\rangle = \langle\mathbf y,\mathbf x\rangle^* $$
对第二个变量线性
$$ \langle\mathbf x, a\mathbf y+b\mathbf z\rangle = a\langle\mathbf x,\mathbf y\rangle +b\langle\mathbf x,\mathbf z\rangle $$
对第一个变量共轭线性
$$ \langle a\mathbf x+b\mathbf y,\mathbf z\rangle = a^*\langle\mathbf x,\mathbf z\rangle +b^*\langle\mathbf y,\mathbf z\rangle $$

有些教材把内积定义为对第一个变量线性，此时性质的写法会交换。考试中只要先写明 (\langle x,y\rangle=x^Hy)，后续保持一致即可。

2.4 内积空间与希尔伯特空间

赋予内积的线性空间称为内积空间。
完备的内积空间称为希尔伯特空间。
“完备”表示空间中的每个 Cauchy 序列都收敛到空间内部的元素。
所有有限维内积空间都自动完备，因此有限维复向量空间 (\mathbb C^N) 是希尔伯特空间。

2.5 例题

$$ \mathbf x= \begin{bmatrix}1\\j\end{bmatrix}, \qquad \mathbf y= \begin{bmatrix}j\\1\end{bmatrix} $$

内积：

$$ \mathbf x^H\mathbf y = \begin{bmatrix}1&-j\end{bmatrix} \begin{bmatrix}j\\1\end{bmatrix} =j-j=0 $$

所以两向量正交。

范数：

$$ \|\mathbf x\|_2 =\sqrt{1+1} =\sqrt2 $$

3. 线性空间、线性无关、子空间与基

3.1 学到什么程度

【必须掌握】

会写线性空间和子空间的封闭条件。
会判断向量组是否线性无关。
会写 span、基和维数的定义。

来源

课程大纲 PDF 第 2 页，第（1）、（3）项。
第二章讲义 PDF 第 2～7 页。
2021 年试题.pdf>)：PDF 第 2 页第 8 题。
2022 年试题 PDF 第 2 页关于导向矢量张成空间的填空。

3.2 线性空间

最实用的考试定义：

线性空间是对向量加法和标量数乘封闭的向量集合。

统一写成：

$$ \forall\mathbf x,\mathbf y\in V, \quad\forall a,b\in\mathbb F, \quad a\mathbf x+b\mathbf y\in V $$

常见线性空间：

(\mathbb R^N)、(\mathbb C^N)；
所有 (m\times n) 矩阵构成的集合；
某矩阵的值域、零空间；
某组向量张成的集合。

3.3 子空间判断

非空集合 (S\subseteq V) 是子空间，当且仅当：

$$ \forall\mathbf x,\mathbf y\in S,\quad \forall a,b,\quad a\mathbf x+b\mathbf y\in S $$

快速判断时至少检查：

(\mathbf0\in S)；
对加法封闭；
对数乘封闭。

例：

$$ S=\left\{ \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}: x+y=0 \right\} $$

因为约束是齐次线性的，所以是子空间。

但：

$$ S=\left\{ \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}: x+y=1 \right\} $$

不包含零向量，不是子空间。

3.4 线性无关

向量组 ({\mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_p}) 线性无关，当且仅当：

$$ \sum_{i=1}^{p}c_i\mathbf a_i=\mathbf0 $$

只有零解：

$$ c_1=\cdots=c_p=0 $$

将向量组成矩阵：

$$ \mathbf A= \begin{bmatrix} \mathbf a_1&\cdots&\mathbf a_p \end{bmatrix} $$

则列向量线性无关等价于：

$$ \operatorname{rank}(\mathbf A)=p $$

3.5 张成空间、基和维数

张成空间：

$$ \operatorname{span} \{\mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_p\} = \left\{ \sum_{i=1}^{p}c_i\mathbf a_i \right\} $$

一组向量是空间 (S) 的基，需要同时满足：

线性无关；
能张成 (S)。

基中向量的数量是空间维数：

$$ \dim S=p $$

3.6 历年题型

若：

$$ \mathbf A= \begin{bmatrix} \mathbf a(\theta_1)& \cdots& \mathbf a(\theta_P) \end{bmatrix} $$

则这些导向矢量张成的信号子空间可写为：

$$ \boxed{ \mathcal S= \mathcal R(\mathbf A) = \operatorname{span} \{\mathbf a(\theta_1),\ldots, \mathbf a(\theta_P)\}} $$

若各列线性无关，则：

$$ \dim\mathcal S=P $$

4. 矩阵的值域、零空间与秩

4.1 学到什么程度

【必须掌握】

会写值域和零空间的集合定义。
会用秩-零度定理。
会判断“列满秩是否能覆盖整个输出空间”。

来源

课程大纲 PDF 第 2 页，第（4）项。
第二章讲义 PDF 第 8～9 页。
2021 年试题 PDF 第 2 页第 9 题。
2022 年试题 PDF 第 2 页选择题第 1 题。

4.2 值域/列空间

设：

$$ \mathbf A\in\mathbb C^{m\times n} $$

值域：

$$ \boxed{ \mathcal R(\mathbf A) = \{\mathbf y\in\mathbb C^m: \mathbf y=\mathbf A\mathbf x, \mathbf x\in\mathbb C^n\}} $$

它也等于 (\mathbf A) 的列向量张成的空间：

$$ \mathcal R(\mathbf A) =\operatorname{span} \{\mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_n\} $$

4.3 零空间

$$ \boxed{ \mathcal N(\mathbf A) = \{\mathbf x\in\mathbb C^n: \mathbf A\mathbf x=\mathbf0\}} $$

4.4 秩与秩-零度

$$ \operatorname{rank}(\mathbf A) =\dim\mathcal R(\mathbf A) $$

$$ \boxed{ \operatorname{rank}(\mathbf A) +\dim\mathcal N(\mathbf A)=n} $$

4.5 2022 年选择题陷阱

若：

$$ \mathbf y=\mathbf A\mathbf x,\qquad \mathbf A\in\mathbb C^{m\times n}, \quad m>n,\quad \operatorname{rank}(\mathbf A)=n $$

虽然 (\mathbf A) 列满秩，但：

$$ \dim\mathcal R(\mathbf A)=n<m $$

所以 (\mathbf y) 只能取遍 (\mathbb C^m) 中一个 (n) 维子空间，不能占满整个 (\mathbb C^m)。

若要：

$$ \mathcal R(\mathbf A)=\mathbb C^m $$

必须行满秩：

$$ \operatorname{rank}(\mathbf A)=m $$

4.6 最小二乘联系

当 (m>n)、(\mathbf A) 列满秩时，方程：

$$ \mathbf A\mathbf x=\mathbf y $$

对一般 (\mathbf y) 可能无精确解。最小二乘解为：

$$ \boxed{ \hat{\mathbf x} = (\mathbf A^H\mathbf A)^{-1} \mathbf A^H\mathbf y} $$

对应拟合向量：

$$ \hat{\mathbf y} =\mathbf A\hat{\mathbf x} =\mathbf P_{\mathbf A}\mathbf y $$

这就是把 (\mathbf y) 正交投影到 (\mathcal R(\mathbf A))。

5. 随机变量的独立与不相关

5.1 学到什么程度

【必须掌握】

会写独立和不相关的数学定义。
会说出“独立推出不相关，反之一般不成立”。
知道联合高斯时二者等价。

来源

课程大纲 PDF 第 2 页，第（5）项。
大纲明确提示“零均值的两个随机过程 (X,Y)，不相关不一定独立”。
第五章讲义：PDF 第 9、11 页在信源协方差和子空间模型中使用独立/不相关假设。

5.2 独立

随机变量 (X,Y) 独立，表示联合分布可以分解：

$$ f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y) $$

随机过程可按所有有限维联合分布的乘积分解定义独立。

5.3 不相关

$$ \operatorname{cov}(X,Y) =E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)^*] $$

若：

$$ \operatorname{cov}(X,Y)=0 $$

则 (X,Y) 不相关。

零均值时：

$$ \boxed{E[XY^*]=0} $$

5.4 二者关系

在二阶矩存在时：

$$ \boxed{ \text{独立}\Longrightarrow\text{不相关}} $$

但是：

$$ \boxed{ \text{不相关}\centernot\Longrightarrow \text{独立}} $$

联合高斯是重要特例。对实联合高斯变量，有：

$$ \boxed{ \text{联合高斯时：不相关} \Longleftrightarrow\text{独立}} $$

对复随机变量应更严谨：若变量是联合正规（proper）复高斯，或广义协方差与伪协方差中的交叉项均为零，才能由不相关推出独立。考试若沿用课程的实变量口径，写“联合高斯时二者等价”即可。

5.5 反例

令：

$$ X\sim U[-1,1],\qquad Y=X^2 $$

显然 (Y) 完全由 (X) 决定，因此不独立。

但：

$$ E[X]=0,\qquad E[XY]=E[X^3]=0 $$

所以：

$$ \operatorname{cov}(X,Y)=0 $$

即不相关但不独立。

5.6 阵列处理中的意义

多个信源不相关时，信源协方差矩阵通常为对角阵：

$$ \mathbf R_s =E[\mathbf s\mathbf s^H] = \operatorname{diag} (\sigma_1^2,\ldots,\sigma_P^2) $$

相干信源则会使 (\mathbf R_s) 降秩，这正是后续空间平滑要处理的问题。

6. 线性变换与正交/酉变换

6.1 学到什么程度

【必须掌握】

会写线性变换定义。
会写酉矩阵条件。
知道酉变换保持内积、长度和信息。

来源

课程大纲 PDF 第 2 页，第（6）、（7）项。
第二章讲义 PDF 第 12、17～22 页。

6.2 线性变换

变换 (T) 是线性的，当：

$$ \boxed{ T(a\boldsymbol\alpha+b\boldsymbol\beta) = aT(\boldsymbol\alpha) +bT(\boldsymbol\beta)} $$

有限维空间中，线性变换可用矩阵表示：

$$ \mathbf y=\mathbf A\mathbf x $$

6.3 正交矩阵与酉矩阵

实数域中通常称正交矩阵：

$$ \mathbf Q^T\mathbf Q=\mathbf I $$

复数域中应称酉矩阵：

$$ \boxed{ \mathbf Q^H\mathbf Q =\mathbf Q\mathbf Q^H =\mathbf I} $$

酉变换：

$$ \mathbf y=\mathbf Q\mathbf x $$

保持范数：

$$ \|\mathbf y\|_2^2 =\mathbf x^H\mathbf Q^H\mathbf Q\mathbf x =\|\mathbf x\|_2^2 $$

也保持内积：

$$ (\mathbf Q\mathbf x)^H (\mathbf Q\mathbf y) =\mathbf x^H\mathbf y $$

6.4 DFT 与波束空间

归一化 DFT 矩阵是酉矩阵。对阵列空间采样数据做 DFT，相当于把阵元空间数据变换到波束空间。

归一化 DFT 矩阵元素：

$$ [\mathbf F]_{k,n} =\frac1{\sqrt N} e^{-j2\pi kn/N} $$

满足：

$$ \mathbf F^H\mathbf F=\mathbf I $$

它是不依赖数据的固定正交/酉变换。

7. 正交投影、正交补与信号子空间

这是第二章最关键的部分之一，也是后续 MUSIC、GSC、最小二乘和波束形成的共同基础。

7.1 学到什么程度

【必须掌握】

能从最小二乘推导投影矩阵。
能写标准正交基和非正交基两种投影公式。
会写正交补投影。
会检查投影矩阵的 Hermitian 与幂等性质。
会写信号子空间和噪声子空间的投影。

来源

课程大纲 PDF 第 2 页，第（7）项。
第二章讲义 PDF 第 9～17 页。
旧卷多次考查“正交投影、信号子空间与噪声子空间”。

7.2 正交补

子空间 (S) 的正交补：

$$ S^\perp = \{\mathbf y: \mathbf y^H\mathbf x=0,\ \forall\mathbf x\in S\} $$

有限维空间有：

$$ \mathbb C^N=S\oplus S^\perp $$

任意向量都可唯一分解为：

$$ \mathbf x=\mathbf x_S+\mathbf x_{S^\perp} $$

7.3 非正交基的投影推导

设：

$$ \mathbf A= \begin{bmatrix} \mathbf a_1&\cdots&\mathbf a_p \end{bmatrix} $$

列满秩，目标是把 (\mathbf b) 投影到 (\mathcal R(\mathbf A))。

投影向量写成：

$$ \mathbf p=\mathbf A\mathbf c $$

正交投影要求残差：

$$ \mathbf e=\mathbf b-\mathbf A\mathbf c $$

与 (\mathcal R(\mathbf A)) 正交：

$$ \mathbf A^H (\mathbf b-\mathbf A\mathbf c)=\mathbf0 $$

得到正规方程：

$$ \mathbf A^H\mathbf A\mathbf c =\mathbf A^H\mathbf b $$

所以：

$$ \mathbf c =(\mathbf A^H\mathbf A)^{-1} \mathbf A^H\mathbf b $$

因此：

$$ \boxed{ \mathbf p = \mathbf A(\mathbf A^H\mathbf A)^{-1} \mathbf A^H\mathbf b} $$

投影矩阵为：

$$ \boxed{ \mathbf P_{\mathbf A} = \mathbf A(\mathbf A^H\mathbf A)^{-1} \mathbf A^H} $$

若 (\mathbf A) 不一定列满秩，更一般的表达式是：

$$ \mathbf P_{\mathbf A} =\mathbf A\mathbf A^+ $$

其中 (\mathbf A^+) 是 Moore–Penrose 伪逆。

7.4 标准正交基的投影

若：

$$ \mathbf A^H\mathbf A=\mathbf I $$

则：

$$ \boxed{\mathbf P_{\mathbf A} =\mathbf A\mathbf A^H} $$

7.5 正交补投影

$$ \boxed{ \mathbf P_{\mathbf A}^{\perp} =\mathbf I-\mathbf P_{\mathbf A}} $$

对应分解：

$$ \mathbf b =\mathbf P_{\mathbf A}\mathbf b +(\mathbf I-\mathbf P_{\mathbf A})\mathbf b $$

7.6 投影矩阵性质

正交投影矩阵满足：

Hermitian：
$$ \mathbf P^H=\mathbf P $$
幂等：
$$ \mathbf P^2=\mathbf P $$
特征值只能是 0 或 1。
秩等于被投影子空间的维数。

7.7 信号子空间和噪声子空间

若信号子空间的标准正交基为：

$$ \mathbf U_s = \begin{bmatrix} \mathbf u_1&\cdots&\mathbf u_P \end{bmatrix} $$

则：

$$ \boxed{ \mathbf P_s =\mathbf U_s\mathbf U_s^H} $$

噪声子空间基为 (\mathbf U_n)，则：

$$ \boxed{ \mathbf P_n =\mathbf U_n\mathbf U_n^H =\mathbf I-\mathbf P_s} $$

后续 MUSIC 的核心正交关系就是：

$$ \mathbf U_n^H\mathbf a(\theta_i)=\mathbf0 $$

7.8 例题

令：

$$ \mathbf a =\frac1{\sqrt2} \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \qquad \mathbf b= \begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix} $$

因为 (\mathbf a^H\mathbf a=1)：

$$ \mathbf P=\mathbf a\mathbf a^H =\frac12 \begin{bmatrix} 1&1\\1&1 \end{bmatrix} $$

投影：

$$ \mathbf p=\mathbf P\mathbf b = \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} $$

残差：

$$ \mathbf e=\mathbf b-\mathbf p = \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} $$

验证：

$$ \mathbf a^H\mathbf e=0 $$

7.9 必须纠正的资料错误

当前大纲写成：

$$ \mathbf P=\mathbf A^H\mathbf A $$

这是错误的。若 (\mathbf A) 的列是标准正交基，正确投影矩阵是：

$$ \boxed{\mathbf P=\mathbf A\mathbf A^H} $$

此外，第二章讲义第 17 页把：

$$ \mathbf A(\mathbf A^H\mathbf A)^{-1}\mathbf A^H $$

称为 (\mathbf A) 的伪逆，也不准确。列满秩时：

$$ \boxed{ \mathbf A^+ =(\mathbf A^H\mathbf A)^{-1}\mathbf A^H} $$

才是 Moore–Penrose 伪逆，而：

$$ \boxed{ \mathbf P_{\mathbf A} =\mathbf A\mathbf A^+} $$

是投影矩阵。

8. 特征值分解 EVD

8.1 学到什么程度

【必须掌握】

会写特征值和特征向量关系。
会写 Hermitian 矩阵的 EVD。
会说出 Hermitian、正定和协方差矩阵的性质。
会使用 MATLAB eig 并按特征值排序。

来源

课程大纲 PDF 第 2 页，第（8）、（12）项。
第二章讲义 PDF 第 21～24 页。
第五章讲义 PDF 第 9～11 页将 EVD 用于信号/噪声子空间。
2022 年试题 PDF 第 4～5 页二维 MUSIC 程序填空。

8.2 特征值和特征向量

若存在非零向量 (\mathbf v)，满足：

$$ \boxed{\mathbf A\mathbf v =\lambda\mathbf v} $$

则 (\lambda) 是特征值，(\mathbf v) 是对应特征向量。

特征方程：

$$ \det(\mathbf A-\lambda\mathbf I)=0 $$

8.3 Hermitian 矩阵

$$ \boxed{\mathbf A=\mathbf A^H} $$

性质：

对角元素为实数；
特征值全为实数；
不同特征值对应的特征向量正交；
可选择一组标准正交特征向量；
可作酉对角化：
$$ \boxed{ \mathbf A =\mathbf U\boldsymbol\Lambda \mathbf U^H} $$

8.4 正定与半正定

若对所有非零 (\mathbf x)：

$$ \mathbf x^H\mathbf A\mathbf x>0 $$

则 (\mathbf A) 正定。

若：

$$ \mathbf x^H\mathbf A\mathbf x\ge0 $$

则半正定。

对 Hermitian 矩阵：

正定 (\Longleftrightarrow) 所有特征值 (>0)；
半正定 (\Longleftrightarrow) 所有特征值 (\ge0)。

8.5 协方差矩阵

零均值随机向量：

$$ \mathbf R_x =E[\mathbf x\mathbf x^H] $$

总有：

$$ \mathbf R_x^H=\mathbf R_x $$

且：

$$ \mathbf z^H\mathbf R_x\mathbf z =E[|\mathbf z^H\mathbf x|^2]\ge0 $$

所以协方差矩阵是 Hermitian 半正定矩阵。

8.6 例题

$$ \mathbf A= \begin{bmatrix} 2&1\\1&2 \end{bmatrix} $$

特征值：

$$ \lambda_1=3,\qquad \lambda_2=1 $$

标准正交特征向量：

$$ \mathbf u_1 =\frac1{\sqrt2} \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \qquad \mathbf u_2 =\frac1{\sqrt2} \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} $$

因此：

$$ \mathbf A = \begin{bmatrix} \mathbf u_1&\mathbf u_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3&0\\0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf u_1&\mathbf u_2 \end{bmatrix}^H $$

8.7 MATLAB

[V, D] = eig(A);
lambda = real(diag(D));

% 按特征值从大到小排列
[lambda, idx] = sort(lambda, 'descend');
V = V(:, idx);
D = diag(lambda);

% 检查分解
err = norm(A - V*D*V', 'fro');

MATLAB 中 V(:,i) 对应 D(i,i)。

9. 奇异值分解 SVD 与 QR 分解

9.1 学到什么程度

【了解并会使用】

能写 SVD、QR 表达式。
知道奇异值、秩、值域和零空间之间的关系。
会用 svd、qr。

来源

课程大纲 PDF 第 2 页，第（9）项。
第二章讲义 PDF 第 24～25 页。

9.2 SVD

任意：

$$ \mathbf A\in\mathbb C^{m\times n} $$

均可分解为：

$$ \boxed{ \mathbf A =\mathbf U\boldsymbol\Sigma\mathbf V^H} $$

其中：

(\mathbf U)：左奇异向量；
(\mathbf V)：右奇异向量；
(\boldsymbol\Sigma)：非负奇异值对角阵；
奇异值通常按：
$$ \sigma_1\ge\sigma_2\ge\cdots\ge0 $$
排列。

关系：

$$ \mathbf A^H\mathbf A\mathbf v_i =\sigma_i^2\mathbf v_i $$

$$ \mathbf A\mathbf A^H\mathbf u_i =\sigma_i^2\mathbf u_i $$

9.3 SVD 的空间含义

若：

$$ \operatorname{rank}(\mathbf A)=r $$

则：

$$ \mathcal R(\mathbf A) = \operatorname{span} \{\mathbf u_1,\ldots,\mathbf u_r\} $$

$$ \mathcal N(\mathbf A) = \operatorname{span} \{\mathbf v_{r+1},\ldots,\mathbf v_n\} $$

SVD 比 EVD 更一般：矩形矩阵也可直接分解。

9.4 QR 分解

列满秩矩阵：

$$ \boxed{ \mathbf A=\mathbf Q\mathbf R} $$

其中：

(\mathbf Q^H\mathbf Q=\mathbf I)；
(\mathbf R) 为上三角矩阵；
(\mathbf Q) 的列给出 (\mathcal R(\mathbf A)) 的标准正交基。

QR 常用于：

正交化；
最小二乘；
数值稳定地求解线性方程。

9.5 MATLAB

% 经济型 SVD
[U, S, V] = svd(A, 'econ');
singular_values = diag(S);

% 经济型 QR
[Q, R] = qr(A, 0);

% 检查
err_svd = norm(A - U*S*V', 'fro');
err_qr  = norm(A - Q*R, 'fro');

10. 实函数对复变量求导

10.1 学到什么程度

【必须掌握】

会写 Wirtinger 导数。
会对 (\mathbf w^H\mathbf R\mathbf w) 求导。
会对最小二乘代价函数求导。
知道实函数的最优条件通常令：
$$ \frac{\partial f}{\partial\mathbf w^*}=0 $$

来源

课程大纲 PDF 第 2 页，第（10）项。
第二章讲义 PDF 第 26～29 页。
第三章中的 MSE、LCMV、SMI 推导均依赖本节。

10.2 为什么要把 (\mathbf w) 和 (\mathbf w^*) 分开

令：

$$ \mathbf w=\mathbf x+j\mathbf y $$

实函数：

$$ f(\mathbf w,\mathbf w^*) =g(\mathbf x,\mathbf y) $$

通常不满足普通复解析函数条件，因此使用 Wirtinger 导数，把 (\mathbf w) 和 (\mathbf w^*) 暂时看成独立变量。

10.3 定义

$$ \boxed{ \frac{\partial}{\partial\mathbf w} =\frac12 \left( \frac{\partial}{\partial\mathbf x} -j\frac{\partial}{\partial\mathbf y} \right)} $$

$$ \boxed{ \frac{\partial}{\partial\mathbf w^*} =\frac12 \left( \frac{\partial}{\partial\mathbf x} +j\frac{\partial}{\partial\mathbf y} \right)} $$

10.4 必背导数表

在列梯度约定下：

$$ \frac{\partial(\mathbf a^H\mathbf w)} {\partial\mathbf w^*} =\mathbf0 $$

$$ \frac{\partial(\mathbf w^H\mathbf a)} {\partial\mathbf w^*} =\mathbf a $$

$$ \boxed{ \frac{\partial (\mathbf w^H\mathbf R\mathbf w)} {\partial\mathbf w^*} =\mathbf R\mathbf w} $$

若：

$$ f=\|\mathbf A\mathbf w-\mathbf b\|_2^2 $$

则：

$$ \boxed{ \frac{\partial f}{\partial\mathbf w^*} = \mathbf A^H (\mathbf A\mathbf w-\mathbf b)} $$

10.5 最小二乘推导

$$ f(\mathbf w) = \|\mathbf A\mathbf w-\mathbf b\|_2^2 $$

令：

$$ \frac{\partial f}{\partial\mathbf w^*} =\mathbf0 $$

得到：

$$ \mathbf A^H\mathbf A\mathbf w =\mathbf A^H\mathbf b $$

列满秩时：

$$ \boxed{ \mathbf w_{\text{LS}} =(\mathbf A^H\mathbf A)^{-1} \mathbf A^H\mathbf b} $$

10.6 (2\mathbf R\mathbf w) 与 (\mathbf R\mathbf w) 的区别

第二章讲义第 29 页给出实梯度形式：

$$ \nabla f=2\mathbf R\mathbf w $$

而使用 Wirtinger 导数时：

$$ \frac{\partial f}{\partial\mathbf w^*} =\mathbf R\mathbf w $$

二者并不矛盾，区别来自导数变量和梯度约定。考试若明确要求“对 (\mathbf w^*) 求导”，应写：

$$ \boxed{\mathbf R\mathbf w} $$

11. 高斯白噪声与色噪声

11.1 学到什么程度

【必须掌握】

会写白噪声相关函数与功率谱密度。
会写空间白噪声协方差矩阵。
能区分“高斯”和“白”描述的是不同性质。

【了解】

色噪声的相关函数、功率谱和协方差结构。

来源

课程大纲 PDF 第 2 页，第（11）项。
第三章讲义：PDF 第 18 页区分白噪声与色噪声下的最优处理。
第五章讲义 PDF 第 11、22、26～29 页讨论白噪声和色噪声对子空间方法的影响。

11.2 “高斯”与“白”不是一回事

高斯：描述概率分布。
白：描述不同时间或不同阵元之间不相关，功率谱平坦。

因此可以存在：

高斯白噪声；
非高斯白噪声；
高斯色噪声；
非高斯色噪声。

11.3 离散时间白噪声

零均值白噪声 (n[k])：

$$ E[n[k]]=0 $$

自相关函数：

$$ \boxed{ R_n[\ell] =E[n[k]n^*[k-\ell]] =\sigma_n^2\delta[\ell]} $$

其功率谱是自相关函数的 DTFT：

$$ S_n(e^{j\omega}) =\sum_{\ell=-\infty}^{\infty} R_n[\ell]e^{-j\omega\ell} $$

所以：

$$ \boxed{S_n(e^{j\omega})=\sigma_n^2} $$

即所有频率上的功率谱密度相同。

11.4 空间白噪声

对阵列噪声向量：

$$ \mathbf n(t) = \begin{bmatrix} n_1(t)&\cdots&n_N(t) \end{bmatrix}^T $$

空间白噪声满足不同阵元噪声不相关且功率相同：

$$ \boxed{ \mathbf R_n =E[\mathbf n(t)\mathbf n^H(t)] =\sigma_n^2\mathbf I} $$

若同时满足复高斯分布，可简写为：

$$ \boxed{ \mathbf n(t) \sim\mathcal{CN} (\mathbf0,\sigma_n^2\mathbf I)} $$

其概率密度为：

$$ p(\mathbf n) = \frac{1} {\pi^N\det(\mathbf R_n)} \exp\left( -\mathbf n^H\mathbf R_n^{-1}\mathbf n \right) $$

高斯白噪声各分量不相关；由于它们联合高斯，因此也相互独立。

11.5 色噪声

色噪声至少有某些非零时延相关：

$$ R_n[\ell]\ne0,\qquad \ell\ne0 $$

因此功率谱不再是常数：

$$ S_n(e^{j\omega}) \text{ 随 }\omega\text{ 变化} $$

空间色噪声的协方差通常不是 (\sigma^2\mathbf I)，阵元之间可能相关。

高斯色噪声可写成：

$$ \mathbf n(t) \sim\mathcal{CN} (\mathbf0,\mathbf R_n), \qquad \mathbf R_n\ne\sigma_n^2\mathbf I $$

若 (\mathbf R_n) 已知且正定，可以通过：

$$ \tilde{\mathbf x} =\mathbf R_n^{-1/2}\mathbf x $$

进行预白化。

12. 阵列常用矩阵及 MATLAB 速查

12.1 范德蒙矩阵

【必须掌握】

范德蒙向量：

$$ \mathbf v(z) = \begin{bmatrix} 1&z&z^2&\cdots&z^{N-1} \end{bmatrix}^T $$

ULA 导向矢量：

$$ \mathbf a(\theta) = \begin{bmatrix} 1&z(\theta)&z^2(\theta)&\cdots& z^{N-1}(\theta) \end{bmatrix}^T $$

其中，例如从法线起算：

$$ z(\theta) =e^{-j2\pi d\sin\theta/\lambda} $$

多个方向组成：

$$ \mathbf A = \begin{bmatrix} \mathbf v(z_1)&\cdots&\mathbf v(z_P) \end{bmatrix} $$

若 (z_1,\ldots,z_P) 互不相同且 (P\le N)，则范德蒙矩阵列满秩。

来源

课程大纲 PDF 第 2 页，第（12）项。
第五章讲义：PDF 第 5 页。
2021 年试题 PDF 第 2 页第 12 题。

12.2 Hermitian Toeplitz 协方差矩阵

Toeplitz 矩阵沿每条主对角线元素相同：

$$ \mathbf T= \begin{bmatrix} t_0&t_{-1}&\cdots&t_{-(N-1)}\\ t_1&t_0&\cdots&t_{-(N-2)}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ t_{N-1}&t_{N-2}&\cdots&t_0 \end{bmatrix} $$

Hermitian Toeplitz 还满足：

$$ t_{-\ell}=t_\ell^* $$

在理想 ULA、远场窄带、空间平稳/独立信源并叠加空间白噪声等条件下，阵列协方差矩阵具有：

$$ \boxed{\text{Hermitian、Toeplitz}} $$

这正是 2021 年填空题第 12 题的预期答案。

不要把“任何情况下的 ULA 协方差矩阵都必然 Toeplitz”当成绝对结论。阵元位置/幅相误差、互耦、非平稳噪声等会破坏 Toeplitz 结构。

12.3 广义特征值分解

给定矩阵对 ((\mathbf A,\mathbf B))，广义特征值满足：

$$ \boxed{ \mathbf A\mathbf v =\lambda\mathbf B\mathbf v} $$

等价特征方程：

$$ \det(\mathbf A-\lambda\mathbf B)=0 $$

若 (\mathbf B) 可逆：

$$ \mathbf B^{-1}\mathbf A\mathbf v =\lambda\mathbf v $$

但数值计算时通常不显式求逆。

若 (\mathbf A) Hermitian、(\mathbf B) Hermitian 正定，则广义特征值为实数，并可选择 (\mathbf B)-正交的特征向量：

$$ \mathbf v_i^H\mathbf B\mathbf v_j =\delta_{ij} $$

MATLAB：

[V, D] = eig(A, B);
lambda = diag(D);

第三章最大信干噪比准则会使用：

$$ \mathbf R_s\mathbf w =\lambda\mathbf R_{i+n}\mathbf w $$

来源

课程大纲 PDF 第 2 页，第（12）项。
第三章讲义 PDF 第 24 页。

12.4 MATLAB 常用函数

% 秩、值域、零空间
r  = rank(A);
RA = orth(A);        % 列空间的一组标准正交基
NA = null(A);        % 零空间的一组标准正交基

% 投影矩阵：推荐先用 orth 获得标准正交基
Q = orth(A);
P = Q * Q';
P_perp = eye(size(P)) - P;

% EVD
[V, D] = eig(A);

% 广义 EVD
[Vg, Dg] = eig(A, B);

% SVD、QR
[U, S, V] = svd(A, 'econ');
[Q, R] = qr(A, 0);

% 伪逆
A_pinv = pinv(A);

13. Kronecker 积与 Khatri–Rao 积

13.1 学到什么程度

【了解但应会写公式】

会判断结果维数。
会写 Kronecker 块矩阵定义。
会写 Khatri–Rao 的逐列 Kronecker 定义。
知道二者不可交换。

来源

课程大纲 PDF 第 2 页，第（13）项。
第五章传统测向讲义：PDF 第 16 页将 Kronecker 积用于二维平面阵权值。
当前本地讲义没有系统给出 Khatri–Rao 定义，本文按标准矩阵定义补全。

13.2 Kronecker 积

若：

$$ \mathbf A\in\mathbb C^{m\times n}, \qquad \mathbf B\in\mathbb C^{p\times q} $$

则：

$$ \boxed{ \mathbf A\otimes\mathbf B \in\mathbb C^{mp\times nq}} $$

定义：

$$ \mathbf A\otimes\mathbf B = \begin{bmatrix} a_{11}\mathbf B&\cdots&a_{1n}\mathbf B\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}\mathbf B&\cdots&a_{mn}\mathbf B \end{bmatrix} $$

若题目说“左 Kronecker 积”，通常就是按上式以 (\mathbf A) 的元素在左侧缩放 (\mathbf B) 的标准排列。注意：

$$ \mathbf A\otimes\mathbf B \ne \mathbf B\otimes\mathbf A $$

一般不交换。

13.3 Kronecker 例题

$$ \mathbf A= \begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf B= \begin{bmatrix} 0&5\\6&7 \end{bmatrix} $$

则：

$$ \mathbf A\otimes\mathbf B = \begin{bmatrix} \mathbf B&2\mathbf B\\ 3\mathbf B&4\mathbf B \end{bmatrix} $$

即：

$$ \begin{bmatrix} 0&5&0&10\\ 6&7&12&14\\ 0&15&0&20\\ 18&21&24&28 \end{bmatrix} $$

13.4 常用性质

维数允许时：

$$ (\mathbf A\otimes\mathbf B) (\mathbf C\otimes\mathbf D) = (\mathbf A\mathbf C) \otimes (\mathbf B\mathbf D) $$

$$ (\mathbf A\otimes\mathbf B)^H = \mathbf A^H\otimes\mathbf B^H $$

向量化公式：

$$ \boxed{ \operatorname{vec} (\mathbf A\mathbf X\mathbf B) = (\mathbf B^T\otimes\mathbf A) \operatorname{vec}(\mathbf X)} $$

二维可分离阵列的导向矢量常写成两个一维导向矢量的 Kronecker 积，例如：

$$ \mathbf a_{\text{plane}} =\mathbf a_y\otimes\mathbf a_x $$

具体次序取决于阵元编号和向量化顺序。

13.5 Khatri–Rao 积

若：

$$ \mathbf A= \begin{bmatrix} \mathbf a_1&\cdots&\mathbf a_K \end{bmatrix} \in\mathbb C^{m\times K} $$

$$ \mathbf B= \begin{bmatrix} \mathbf b_1&\cdots&\mathbf b_K \end{bmatrix} \in\mathbb C^{n\times K} $$

两矩阵必须有相同列数 (K)。定义：

$$ \boxed{ \mathbf A\odot\mathbf B = \begin{bmatrix} \mathbf a_1\otimes\mathbf b_1& \cdots& \mathbf a_K\otimes\mathbf b_K \end{bmatrix}} $$

结果维数：

$$ \boxed{ \mathbf A\odot\mathbf B \in\mathbb C^{mn\times K}} $$

它可以理解为“逐列 Kronecker 积”。

13.6 Khatri–Rao 例题

$$ \mathbf A= \begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf B= \begin{bmatrix} 5&6\\7&8 \end{bmatrix} $$

则：

$$ \mathbf A\odot\mathbf B = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}5\\7\end{bmatrix} & \begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}6\\8\end{bmatrix} \end{bmatrix} $$

$$ = \begin{bmatrix} 5&12\\ 7&16\\ 15&24\\ 21&32 \end{bmatrix} $$

13.7 MATLAB

Kron = kron(A, B);

% Khatri-Rao，若没有相关工具箱可逐列实现
K = size(A, 2);
KR = zeros(size(A,1)*size(B,1), K);
for k = 1:K
    KR(:,k) = kron(A(:,k), B(:,k));
end

14. 历年题型专项训练

14.1 填空题

题 1

线性空间是满足和封闭性的向量集合。

答案：加法；数乘。

题 2

设：

$$ \mathbf A\in\mathbb C^{m\times n} $$

其值域为：

$$ \mathcal R(\mathbf A) = \{\mathbf y\in\mathbb C^m\mid \underline{\qquad}, \mathbf x\in\mathbb C^n\} $$

答案：

$$ \mathbf y=\mathbf A\mathbf x $$

题 3

ULA 在无系统误差时，导向矢量具有 形式；在理想空间平稳条件下，其协方差矩阵具有 和 __ 性质。

答案：范德蒙；Hermitian；Toeplitz。

题 4

零均值随机变量 (X,Y) 不相关的数学表达式为 ______。

答案：

$$ E[XY^*]=0 $$

14.2 选择题

题 5

若：

$$ \mathbf A\in\mathbb C^{m\times n}, \quad m>n,\quad \operatorname{rank}(\mathbf A)=n $$

则以下说法错误的是：

A. (\mathbf A) 列满秩。
B. (\dim\mathcal R(\mathbf A)=n)。
C. (\mathbf A\mathbf x) 可以取遍整个 (\mathbb C^m)。
D. (\mathbf A^H\mathbf A) 可逆。

答案：C。

题 6

下列哪个矩阵一定是正交投影矩阵？

A. (\mathbf A^H\mathbf A)
B. (\mathbf A\mathbf A^H)，其中 (\mathbf A^H\mathbf A=\mathbf I)
C. 任意 Hermitian 矩阵
D. 任意 Toeplitz 矩阵

答案：B。

14.3 计算题

题 7：投影

$$ \mathbf A= \begin{bmatrix} 1\\1\\0 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf b= \begin{bmatrix} 2\\0\\1 \end{bmatrix} $$

求 (\mathbf b) 到 (\mathcal R(\mathbf A)) 的投影。

解

$$ \mathbf A^H\mathbf A=2 $$

$$ \mathbf P =\mathbf A(\mathbf A^H\mathbf A)^{-1}\mathbf A^H =\frac12 \begin{bmatrix} 1&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} $$

$$ \mathbf p=\mathbf P\mathbf b = \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} $$

残差：

$$ \mathbf e= \begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix} $$

并且：

$$ \mathbf A^H\mathbf e=0 $$

题 8：白噪声

若离散白噪声方差为 (4)，写出相关函数和功率谱。

答案

$$ R_n[k]=4\delta[k] $$

$$ S_n(e^{j\omega})=4 $$

题 9：Kronecker 维数

若：

$$ \mathbf A\in\mathbb C^{2\times3}, \qquad \mathbf B\in\mathbb C^{4\times5} $$

则：

$$ \mathbf A\otimes\mathbf B \in\mathbb C^{8\times15} $$

若二者列数相同为 3，且：

$$ \mathbf A\in\mathbb C^{2\times3}, \quad \mathbf C\in\mathbb C^{4\times3} $$

则：

$$ \mathbf A\odot\mathbf C \in\mathbb C^{8\times3} $$

15. 第二章自测卷

建议限时 40 分钟，总分 100 分。

一、填空题（每题 5 分，共 30 分）

线性空间的核心封闭条件是 __ 和 ______。
复向量标准内积为 ______，两向量正交的条件为 ______。
秩-零度定理为 ______。
列满秩非正交基 (\mathbf A) 的投影矩阵为 ______。
白噪声相关函数为 ______，功率谱为 ______。
Khatri–Rao 积是两个矩阵对应列的 __ 积。

二、判断并改错（每题 5 分，共 20 分）

两个随机变量不相关，因此一定独立。
对任意矩阵 (\mathbf A)，(\mathbf A^H\mathbf A) 都是 (\mathcal R(\mathbf A)) 的投影矩阵。
协方差矩阵一定是 Hermitian 半正定矩阵。
Hermitian 正定矩阵的所有特征值均为正实数。

三、简答题（每题 10 分，共 20 分）

比较 EVD 与 SVD 的适用对象和基本形式。
解释为什么空间白噪声协方差矩阵是 (\sigma_n^2\mathbf I)。

四、计算与推导（每题 15 分，共 30 分）

已知：
$$ \mathbf A= \begin{bmatrix} 1&0\\ 1&1\\ 0&1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf b= \begin{bmatrix} 1\\2\\0 \end{bmatrix} $$
写出投影矩阵公式，并求 (\mathbf b) 到 (\mathcal R(\mathbf A)) 的投影。
对：
$$ f(\mathbf w) = \mathbf w^H\mathbf R\mathbf w -\mathbf w^H\mathbf p -\mathbf p^H\mathbf w $$
假设 (\mathbf R) Hermitian 正定，求使 (f) 最小的 (\mathbf w)。

自测答案

一、填空

加法；数乘。
(\mathbf x^H\mathbf y)；(\mathbf x^H\mathbf y=0)。
(\operatorname{rank}(\mathbf A)+\dim\mathcal N(\mathbf A)=n)。
(\mathbf A(\mathbf A^H\mathbf A)^{-1}\mathbf A^H)。
(\sigma_n^2\delta[k])；(\sigma_n^2)。
Kronecker。

二、判断

错。独立可推出不相关，反之一般不成立；联合高斯是特例。
错。标准正交列基时投影是 (\mathbf A\mathbf A^H)，一般列满秩基时是 (\mathbf A(\mathbf A^H\mathbf A)^{-1}\mathbf A^H)。
对。
对。

三、简答

EVD 主要用于方阵，Hermitian 矩阵有 (\mathbf A=\mathbf U\boldsymbol\Lambda\mathbf U^H)；SVD 适用于任意矩形矩阵，有 (\mathbf A=\mathbf U\boldsymbol\Sigma\mathbf V^H)。SVD 的奇异值非负，可直接给出秩、值域和零空间。
空间白表示不同阵元噪声不相关，所以非对角元素为零；各阵元噪声功率相等为 (\sigma_n^2)，所以主对角元素全为 (\sigma_n^2)，得到 (\sigma_n^2\mathbf I)。

四、计算

投影矩阵：
$$ \mathbf P_{\mathbf A} = \mathbf A(\mathbf A^H\mathbf A)^{-1} \mathbf A^H $$
先算：
$$ \mathbf A^H\mathbf A = \begin{bmatrix} 2&1\\1&2 \end{bmatrix} $$
$$ (\mathbf A^H\mathbf A)^{-1} = \frac13 \begin{bmatrix} 2&-1\\-1&2 \end{bmatrix} $$
$$ \mathbf A^H\mathbf b = \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} $$
系数：
$$ \hat{\mathbf c} = \frac13 \begin{bmatrix} 2&-1\\-1&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4/3\\1/3 \end{bmatrix} $$
投影：
$$ \boxed{ \mathbf p = \mathbf A\hat{\mathbf c} = \begin{bmatrix} 4/3\\5/3\\1/3 \end{bmatrix}} $$
对 (\mathbf w^*) 求导：
$$ \frac{\partial f}{\partial\mathbf w^*} = \mathbf R\mathbf w-\mathbf p $$
令其为零：
$$ \boxed{ \mathbf w_{\text{opt}} = \mathbf R^{-1}\mathbf p} $$
因 (\mathbf R) 正定，驻点是唯一全局最小值。

16. 高频易错点

复内积必须使用共轭转置：
$$ \mathbf x^H\mathbf y $$
不能直接写 (\mathbf x^T\mathbf y)。
线性空间核心是对加法和数乘封闭，不是“元素之间呈线性关系”。
子空间必须包含零向量。
列满秩只表示列向量独立，不一定能占满整个输出空间。
独立推出不相关，反向一般错误。
联合高斯时，不相关等价于独立。
正交基投影是：
$$ \mathbf A\mathbf A^H $$
不是 (\mathbf A^H\mathbf A)。
投影矩阵与伪逆不是同一个矩阵。
正交投影矩阵必须同时满足 Hermitian 和幂等。
复数域应称“酉矩阵”，条件是 (\mathbf U^H\mathbf U=\mathbf I)。
Hermitian 不是“所有元素都为实数”，而是 (\mathbf A=\mathbf A^H)。
协方差矩阵一般是半正定；只有满足额外满秩条件时才正定。
EVD 不适用于任意矩形矩阵，SVD 可以。
对 (\mathbf w^*) 求：
$$ \mathbf w^H\mathbf R\mathbf w $$
的导数是 (\mathbf R\mathbf w)，不是 (2\mathbf R\mathbf w)。
“高斯”表示分布，“白”表示相关/频谱性质。
白噪声功率谱为常数；色噪声功率谱随频率变化。
理想 ULA 协方差的 Toeplitz 性需要空间平稳等条件，不是无条件成立。
Kronecker 积通常不交换。
Khatri–Rao 要求两个矩阵列数相同。
eig(A) 输出的特征值默认不保证按大小排列。

17. 考前十分钟背诵版

线性空间：加法和数乘封闭。
内积：(\langle x,y\rangle=x^Hy)。
正交：(x^Hy=0)。
基：线性无关且张成整个空间。
值域：(\mathcal R(A)={Ax})。
零空间：(\mathcal N(A)={x:Ax=0})。
秩-零度：(\operatorname{rank}(A)+\dim\mathcal N(A)=n)。
独立 (\Rightarrow) 不相关；反之一般不成立；联合高斯时等价。
线性变换：(T(ax+by)=aT(x)+bT(y))。
一般投影：(P=A(A^HA)^{-1}A^H)。
正交基投影：(P=AA^H)。
正交补：(P^\perp=I-P)。
投影性质：(P=P^H=P^2)。
Hermitian EVD：(A=U\Lambda U^H)。
SVD：(A=U\Sigma V^H)。
QR：(A=QR)。
(\partial(w^HRw)/\partial w^*=Rw)。
白噪声：(R_n[k]=\sigma^2\delta[k])，(S_n=\sigma^2)。
空间白噪声：(R_n=\sigma^2I)。
ULA 导向矢量是范德蒙形式。
理想 ULA 协方差：Hermitian、Toeplitz。
广义特征值：(Av=\lambda Bv)。
Kronecker 是块矩阵积；Khatri–Rao 是逐列 Kronecker。

18. 资料索引与可靠性说明

资料	第二章用途	注意事项
20260605.pdf	当前第二章 13 项考试要求	投影公式处把 (AA^H) 误写成 (A^HA)，本文已纠正
第二章数学基础.pdf	线性空间、子空间、投影、正交变换、EVD/SVD/QR、复变量求导	第 17 页把投影矩阵误称为伪逆；第 29 页采用实梯度约定
2021 年试题.pdf>)	线性空间、值域、范德蒙、协方差结构	填空题直接反映基础概念考法
2022 年试题(1).pdf>)	内积、子空间、线性代数选择、EVD 程序	图片式 PDF，本文按页面核读
第三章空域滤波讲义	白/色噪声、广义特征值、复梯度的后续应用	仅提取第二章大纲所需数学基础
第五章高分辨处理讲义	范德蒙、协方差 EVD、信号/噪声子空间	用于说明数学概念在 MUSIC 中的用途
第五章传统测向讲义	二维阵列中的 Kronecker 积	Khatri–Rao 定义由标准矩阵定义补全
阵列信号总汇编	旧卷、手写答案、复习笔记	纯扫描且重复较多，仅用于核对题型，不作为公式最高依据

19. 本章最终达标标准

[ ] 能写线性空间、子空间、基和值域/零空间的定义。
[ ] 能判断向量组线性无关并求维数。
[ ] 能解释独立与不相关的关系。
[ ] 能推导并计算正交投影矩阵。
[ ] 能写信号子空间、噪声子空间及正交补投影。
[ ] 能写 EVD、SVD、QR，并会使用 MATLAB 函数。
[ ] 能用 (\partial/\partial\mathbf w^*) 对二次型求导。
[ ] 能写白噪声相关函数、功率谱和空间协方差。
[ ] 能说出 Hermitian、正定、Toeplitz、范德蒙矩阵的关键性质。
[ ] 能写广义特征值方程。
[ ] 能区分 Kronecker 和 Khatri–Rao 并判断结果维数。
[ ] 第 15 节自测达到 80 分以上。

第二章 阵列数学基础：零基础快速复习

0. 使用方法

0.1 掌握等级

0.2 时间紧时的学习路线

0.3 当前大纲 13 项要求与复习深度

1. 一页必背清单

1.1 线性空间与子空间

1.2 内积、范数与正交

1.3 值域、零空间与秩

1.4 独立与不相关

1.5 正交投影

1.6 特征分解、SVD 与 QR

1.7 复变量求导

1.8 白噪声

1.9 范德蒙、广义特征值

1.10 Kronecker 与 Khatri–Rao

2. 符号、复向量与内积

2.1 学到什么程度

2.2 常用符号

2.3 内积的性质

2.4 内积空间与希尔伯特空间

2.5 例题

3. 线性空间、线性无关、子空间与基

3.1 学到什么程度

3.2 线性空间

3.3 子空间判断

3.4 线性无关

3.5 张成空间、基和维数

3.6 历年题型

4. 矩阵的值域、零空间与秩

4.1 学到什么程度

4.2 值域/列空间

4.3 零空间

4.4 秩与秩-零度

4.5 2022 年选择题陷阱

4.6 最小二乘联系

5. 随机变量的独立与不相关

5.1 学到什么程度

5.2 独立

5.3 不相关

5.4 二者关系

5.5 反例

5.6 阵列处理中的意义

6. 线性变换与正交/酉变换

6.1 学到什么程度

6.2 线性变换

6.3 正交矩阵与酉矩阵

6.4 DFT 与波束空间

7. 正交投影、正交补与信号子空间

7.1 学到什么程度

7.2 正交补

7.3 非正交基的投影推导

7.4 标准正交基的投影

7.5 正交补投影

7.6 投影矩阵性质

7.7 信号子空间和噪声子空间

7.8 例题

7.9 必须纠正的资料错误

8. 特征值分解 EVD

8.1 学到什么程度

8.2 特征值和特征向量

8.3 Hermitian 矩阵

8.4 正定与半正定

8.5 协方差矩阵

8.6 例题

8.7 MATLAB

9. 奇异值分解 SVD 与 QR 分解

9.1 学到什么程度

9.2 SVD

9.3 SVD 的空间含义

9.4 QR 分解

9.5 MATLAB

10. 实函数对复变量求导

10.1 学到什么程度

10.2 为什么要把 (\mathbf w) 和 (\mathbf w^*) 分开

10.3 定义

10.4 必背导数表

10.5 最小二乘推导

10.6 (2\mathbf R\mathbf w) 与 (\mathbf R\mathbf w) 的区别

11. 高斯白噪声与色噪声

第二章阵列数学基础：零基础快速复习