第一章 绪论与阵列信号模型：零基础快速复习
适用课程：西安电子科技大学《阵列信号处理》
目标：在零基础、时间紧的情况下，优先掌握能直接用于填空、简答、程序填空和计算题的内容。
本文依据当前课程大纲、2026 年第一章讲义以及现有历年试题整理。公式和结论已经交叉核对；资料中存在歧义或笔误的地方，均在文中单独说明。
0. 怎样使用这份文档
0.1 掌握等级
本文用三种等级标出学习深度：
- 【必须掌握】：应能脱离资料写出定义、公式并完成计算，是最直接的得分点。
- 【熟悉】：应能解释含义、辨别条件、完成简单推导或简答。
- 【了解】：以识记和列举为主，通常对应填空、选择或简答中的小问。
0.2 时间紧时的复习顺序
如果只有约 3 小时：
- 先背“1. 一页必背清单”。
- 学习第 5、6、7、8、9 节：波数与慢速矢量、窄带条件、导向矢量、方向图、近远场。
- 完成第 12 节历年题型练习。
- 最后看分类、应用、发展史和极化。
如果有半天以上：
- 按正文顺序完整学习。
- 每学完一节，遮住答案口述“本节达标检查”。
- 独立完成第 13 节自测卷，低于 80 分就回看对应知识点。
0.3 当前大纲 12 项要求与复习深度
| 大纲要求 | 本文要求达到的程度 | 常见考法 | 重要度 |
|---|---|---|---|
| 1. 阵列信号处理基本概念、两个研究分支 | 能完整默写 | 填空、名词解释 | ★★★ |
| 2. 横波与纵波 | 能定义并举例 | 填空、判断 | ★★★ |
| 3. 发展脉络 | 记住 Maxwell、Hertz 和三类技术发展 | 填空、简答 | ★★ |
| 4. 研究方向与应用 | 至少能写出两个具体应用 | 简答 | ★★ |
| 5. 系统分类与布阵形式 | 能按不同分类口径分别列举 | 填空、简答 | ★★★ |
| 6. 栅格/分辨率与分辨力 | 能解释差别并计算扫描步长 | 填空、计算 | ★★★ |
| 7. Maxwell 波动方程概念 | 能写方程，知道历史意义 | 填空、简答 | ★★ |
| 8. 波动方程解、波数与慢速矢量 | 能写公式并证明 (k=2\pi/\lambda) | 填空、推导 | ★★★★ |
| 9. 窄/宽带模型、ULA 导向矢量 | 能推导、计算和编程 | 填空、程序、计算 | ★★★★★ |
| 10. 阵列方向图 | 能写响应和 ULA 求和式 | 程序、计算、简答 | ★★★★★ |
| 11. 近/远场模型 | 能用 (2D^2/\lambda) 判断 | 填空、计算 | ★★★★ |
| 12. 极化阵列模型 | 记住两个参数和六个分量 | 填空 | ★★ |
1. 一页必背清单
以下内容应达到看到关键词就能立即写出的程度。
1.1 基本概念
- 阵列信号处理：利用分布在空间不同位置的一组传感器，对传播波携带的信号进行空间采样和联合处理，以增强期望方向信号、抑制干扰与噪声，并估计信号的空间参数。
两个主要研究方向：
- 自适应空域滤波/自适应阵列处理；
- 空间谱估计，即估计 DOA 等空间参数或信源位置。
- 主要目的：提取信号及其参数，同时抑制干扰、噪声和不感兴趣的信号。
传播波携带的信号是空间位置与时间的四维函数：
$$ s(\mathbf r,t)=s(x,y,z,t) $$
1.2 波与波动方程
- 横波：振动方向与传播方向垂直；理想均匀介质中的电磁波是横波。
- 纵波：振动方向与传播方向平行；流体中的声波通常是纵波。
波动方程：
$$ \nabla^2 s(\mathbf r,t)=\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 s(\mathbf r,t)}{\partial t^2} $$
单频平面波：
$$ s(\mathbf r,t)=A\exp\left[j\left(\omega t-\mathbf k^T\mathbf r\right)\right] $$
波数矢量：
$$ \mathbf k= \begin{bmatrix}k_x&k_y&k_z\end{bmatrix}^T,\qquad \|\mathbf k\|=k=\frac{\omega}{c}=\frac{2\pi}{\lambda} $$
慢速矢量：
$$ \boldsymbol\alpha=\frac{\mathbf k}{\omega},\qquad \|\boldsymbol\alpha\|=\frac{1}{c} $$
因而：
$$ s(\mathbf r,t)=s\left(t-\boldsymbol\alpha^T\mathbf r\right) $$
1.3 阵列窄带条件
阵列窄带的本质是：信号包络在阵列最大传播时延内几乎不变。
$$ B\tau_{\max}\ll 1 $$
取最大孔径渡越时间：
$$ \tau_{\text{cross}}\approx\frac{D}{c} $$
定义孔径渡越带宽：
$$ B_{\text{cross}}=\frac{c}{D} $$
课程采用的实用判据：
$$ \frac{B}{B_{\text{cross}}}\le 5\% $$
也就是：
$$ B\le 0.05\frac{c}{D} $$
1.4 ULA 导向矢量
若 ULA 沿 (x) 轴放置，阵元间距为 (d)，角度 (\theta) 从阵列法线（宽侧）起算：
$$ \mathbf a(\theta)= \begin{bmatrix} 1\\ e^{-jkd\sin\theta}\\ \vdots\\ e^{-j(N-1)kd\sin\theta} \end{bmatrix}, \qquad k=\frac{2\pi}{\lambda} $$
若角度从阵列轴线起算，则把 (\sin\theta) 换成 (\cos\theta)。
1.5 方向图
波束形成输出：
$$ y(t)=\mathbf w^H\mathbf x(t) $$
阵列复响应/方向图：
$$ B(\theta)=\mathbf w^H\mathbf a(\theta) $$
功率方向图：
$$ P(\theta)=|B(\theta)|^2 $$
1.6 近远场
课程采用最大球面波—平面波波程误差小于 (\lambda/16) 的标准：
$$ R>\frac{2D^2}{\lambda} $$
- 满足时：远场，可近似为平面波，导向矢量主要由方向决定。
- 不满足时：近场，应采用球面波模型，响应与方向和距离都有关。
1.7 栅格与分辨力
角度栅格/扫描步长是人为设定的数值采样间隔：
$$ \Delta\theta_{\text{grid}} =\frac{\theta_{\max}-\theta_{\min}}{N_{\text{scan}}-1} $$
- 角度分辨力是阵列区分两个相近方向信号的物理能力，主要由波长、有效孔径、信噪比和算法决定。
- 栅格设得很小，不等于阵列真的能分开两个目标。
2. 阵列信号处理的基本概念
2.1 学到什么程度
【必须掌握】
- 能写出阵列信号处理的定义和目的。
- 能写出两个主要研究方向。
- 能区分传感器、传感器阵列、快拍。
【熟悉】
- 能解释为什么阵列处理可以看成“空域滤波”。
- 能说明空间处理和时间滤波之间的类比。
来源
2.2 核心定义
阵列由多个位于不同空间位置的传感器构成。传播波到达不同阵元时，会产生与来波方向、阵元位置、波长有关的时延或相位差。阵列处理利用这些差异：
- 对准期望方向，使各阵元信号同相叠加；
- 对干扰方向形成小响应或零点；
- 根据阵元间相位差估计信号的来波方向；
- 根据多阵元联合数据估计信号、信道或目标参数。
阵列信号处理的两个主要研究方向：
- 自适应空域滤波：选择权值 (\mathbf w)，增强期望信号、抑制干扰和噪声。
- 空间谱估计：估计信号的 DOA、DOD、位置等空间参数。
2.3 三个基础名词
传感器
能够感应空间传播信号并将其转换为可处理信号的装置，例如天线、麦克风、检波器。
传感器阵列
一组分布在空间不同位置的传感器。
快拍 snapshot
所有阵元在同一时刻取得的一组同步采样：
$$ \mathbf x(t)= \begin{bmatrix} x_1(t)&x_2(t)&\cdots&x_N(t) \end{bmatrix}^T $$
2.4 为什么叫“空域滤波”
时间滤波器根据频率选择信号，阵列根据方向选择信号：
| 时间信号处理 | 空间信号处理 |
|---|---|
| 时间采样 (x[n]) | 空间采样 (x_n(t)) |
| 频谱 | 空间谱/角谱 |
| 传递函数 | 方向图 |
| 选择某个频率 | 选择某个方向 |
| 时间混叠 | 空间混叠/栅瓣 |
2.5 达标检查
不看资料，用两句话回答：
- 阵列信号处理的两个主要研究方向是什么？
- 阵列为什么能够分辨方向？
参考答案
- 自适应空域滤波和空间谱估计。
- 不同方向的传播波在各阵元产生不同的相对时延或相位差，阵列利用这种空间结构差异进行滤波和参数估计。
3. 波的类型、研究方向与应用
3.1 横波与纵波
【必须掌握】
| 类型 | 定义 | 典型例子 |
|---|---|---|
| 横波 | 介质或场的振动方向与波传播方向垂直 | 电磁波 |
| 纵波 | 振动方向与波传播方向平行 | 流体中的声波 |
理想均匀介质中的电磁波满足：
$$ \mathbf E\perp\mathbf H,\qquad \mathbf E\perp\mathbf u,\qquad \mathbf H\perp\mathbf u $$
其中 (\mathbf u) 是传播方向单位矢量。
来源
- 课程大纲 PDF 第 1 页，第（2）项。
- 第一章讲义 PDF 第 13 页。
- 2022 年试题 PDF 第 1 页填空题第 1 小题。
3.2 不同传播波对应的传感器
【了解】
| 传播波 | 常见媒质 | 传感器 |
|---|---|---|
| 电磁波 | 大气、自由空间 | 天线 |
| 声波 | 空气、水 | 换能器、麦克风、水听器 |
| 地震冲击波 | 大气、大地 | 检波器 |
传感器的空间方向性由其几何结构和物理特性决定。
3.3 应用领域
【熟悉：至少能列举两种，建议背四种】
- 雷达：相控阵雷达、波束灵活控制、高分辨测向、干扰抑制、SAR/ISAR。
- 移动通信：波束形成、抗多址干扰、空分多址、MIMO。
- 声呐：水声工程、宽带阵列处理。
- 地震勘探：煤矿、地震检测、地质结构分析、石油勘探。
- 射电天文：定位、测向。
- 医学与电子医疗：超声成像、医学成像。
来源
- 课程大纲 PDF 第 1 页，第（4）项。
- 第一章讲义 PDF 第 20 页。
3.4 达标检查
考试问“列举阵列信号处理的两个应用”，不要只写“雷达、通信”四个字。推荐写成：
雷达中的自适应抗干扰和高分辨测向；移动通信中的波束赋形和空分多址。
这样既列了领域，也表明具体用途。
4. 系统分类与发展脉络
4.1 学到什么程度
【必须掌握】
- 有源系统与无源系统。
- 阵列几何形式：线阵、平面阵、立体阵。
- 当前大纲要求的系统布局和融合层次。
【了解】
- 相控阵、MIMO、波形分集阵列的差别。
- 阵列处理的大致发展脉络。
4.2 常见分类
按是否主动发射
- 有源系统：具有发射传感器阵列，例如主动雷达、主动声呐。
- 无源系统：只接收外部信号，例如无源测向阵列。
按空间采样方式
- 连续孔径：例如面天线。
- 离散孔径：传感器阵列。
- 实际阵列：多个真实阵元同时存在。
- 虚拟/合成阵列：利用平台运动或收发组合合成更大孔径，例如 SAR。
按阵列几何结构
- 线阵：阵元沿一条线排列。
- 平面阵：阵元位于一个平面。
- 立体阵：阵元分布在三维空间。
按系统空间布局
当前课程大纲列出的重点是：
- 单基；
- 双基/多基；
- 分布式。
双基、多基和分布式系统通常可统称为组网或网络化系统。
按融合层次
当前大纲列出：
- 信号级融合；
- 数据级融合；
- 情报级融合；
- 态势级融合。
版本提醒：2021 年旧卷曾把“按融合处理方式分为两种”作为填空题，可能对应旧版本课程中的“集中式/分布式”处理架构。当前复习应以 2026 年大纲明确列出的四个融合层次为主，同时知道集中式和分布式也是常见系统架构。
4.3 按发射波形区分
【了解，但适合填空】
- 相控阵：各阵元通常发射相同波形，通过相位控制形成波束。
- MIMO 阵列：不同发射阵元发射可分离的不同波形。
- 波形分集阵列 WDA：通过波形差异增加可利用自由度。
- 频率分集阵 FDA：各阵元载频存在小频差，方向图可能同时依赖角度、距离和时间。
当前大纲明确写的是相控阵、MIMO、WDA；第一章讲义第 42～43 页还介绍了 FDA。答题时按题目用词回答，不要把 WDA 和 FDA 强行写成同一概念。
4.4 发展脉络
【了解：适合填空和简答】
- 1873 年，麦克斯韦出版《电磁学通论》，将电、磁和光的理论统一起来。
- 1888 年，赫兹用实验证实电磁波的存在及其传播特性。
- 雷达在 20 世纪 30 年代逐步发展。
- 20 世纪 60 年代以后，Wiener 滤波理论被用于阵列处理。
后续形成三个重要方向：
- 自适应波束控制；
- 自适应零点控制；
- 空间谱估计。
- 之后又发展出子空间高分辨方法、稳健阵列处理、多维信号处理等。
来源
- 课程大纲 PDF 第 1 页，第（3）、（5）、（7）项。
- 第一章讲义 PDF 第 9、12、21、22、38、40、42、43 页。
- 2021 年试题 PDF 第 1～2 页。
5. 传播波、波动方程、波数矢量与慢速矢量
这是第一章最重要的公式基础之一。
5.1 学到什么程度
【必须掌握】
- 写出三维波动方程。
- 写出单频平面波解。
- 写出 (\mathbf k)、(k)、(\boldsymbol\alpha) 的定义。
- 能证明 (k=2\pi/\lambda)。
【熟悉】
- 解释恒相位面与波数矢量的关系。
- 解释慢速矢量的物理意义。
- 知道平面波对应远场、球面波对应近场。
来源
- 课程大纲 PDF 第 1 页，第（7）、（8）项。
- 第一章讲义 PDF 第 23～30 页。
- 2021 年试题 PDF 第 1、3 页。
- 2022 年试题 PDF 第 1 页。
- 扫描旧卷中多次出现“波数矢量、Maxwell 波动方程、阵列流形”。
5.2 三维波动方程
以电场为例：
$$ \nabla^2\mathbf E =\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2} $$
其中：
$$ \nabla^2= \frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2} $$
为便于推导，也可用标量 (s(\mathbf r,t)) 表示某个场分量：
$$ \nabla^2s(\mathbf r,t) =\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2s(\mathbf r,t)}{\partial t^2} $$
5.3 单频平面波
令：
$$ s(\mathbf r,t) =A\exp\left[j\left(\omega t-\mathbf k^T\mathbf r\right)\right] $$
其中：
$$ \mathbf r= \begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}^T,\qquad \mathbf k= \begin{bmatrix}k_x&k_y&k_z\end{bmatrix}^T $$
代入波动方程：
$$ k_x^2+k_y^2+k_z^2=\frac{\omega^2}{c^2} $$
所以：
$$ k=\|\mathbf k\|=\frac{\omega}{c} $$
又因为：
$$ \omega=2\pi f,\qquad c=f\lambda $$
得到：
$$ \boxed{k=\frac{\omega}{c} =\frac{2\pi f}{f\lambda} =\frac{2\pi}{\lambda}} $$
这就是大纲明确要求会证明的结论。
5.4 波数矢量的物理意义
大小：
$$ k=\frac{2\pi}{\lambda} $$
表示单位传播距离上的相位变化率，单位为 rad/m。
- 方向：波的传播方向。
固定时刻的恒相位面满足：
$$ \mathbf k^T\mathbf r=\text{常数} $$
因此恒相位面与 (\mathbf k) 垂直。
5.5 慢速矢量
定义：
$$ \boldsymbol\alpha=\frac{\mathbf k}{\omega} $$
于是：
$$ \|\boldsymbol\alpha\|=\frac{1}{c} $$
单频波可以改写为：
$$ s(\mathbf r,t) =A\exp\left[j\omega \left(t-\boldsymbol\alpha^T\mathbf r\right)\right] $$
一般波形也可写成：
$$ s(\mathbf r,t)=s\left(t-\boldsymbol\alpha^T\mathbf r\right) $$
(\boldsymbol\alpha^T\mathbf r) 表示波从参考原点传播到位置 (\mathbf r) 的相对时间。
5.6 平面波与球面波
- 远场：波前曲率很小，可近似为平面波。
近场：应保留球面波曲率。由点源向外传播的单频球面波可写成：
$$ s(r,t)=\frac{A}{r}e^{j(\omega t-kr)} $$
其幅度随 (1/r) 衰减，恒相位面是球面。
5.7 资料纠错
第一章讲义第 24 页正确给出：
$$ k=\frac{2\pi}{\lambda} $$
第 25 页“空间频率”旁边看起来写成了 (k=2\pi/\omega)，这与量纲及前后推导不一致，应属于排版错误。正确式始终是：
$$ \boxed{k=\frac{2\pi}{\lambda}} $$
5.8 达标检查
- (k) 和 (\boldsymbol\alpha) 的大小分别是多少？
- 为什么 (\boldsymbol\alpha) 被称为慢速矢量？
- 固定时刻的恒相位面与 (\mathbf k) 有什么关系？
答案
- (k=2\pi/\lambda=\omega/c)，(|\boldsymbol\alpha|=1/c)。
- 它表示单位距离对应的传播时间，量纲为 s/m，是传播速度的倒数。
- 恒相位面满足 (\mathbf k^T\mathbf r=\text{常数})，其法向量是 (\mathbf k)，所以二者垂直。
6. 阵列窄带与宽带模型
6.1 学到什么程度
【必须掌握】
- 说出阵列窄带条件的物理含义。
- 会用 (D/c)、(c/D) 和 5% 判据计算。
- 会从时延模型得到“包络不变、只保留载波相位差”的结论。
【熟悉】
- 区分普通通信中的相对窄带和阵列处理中的孔径窄带。
- 知道宽带时不能直接用单个频率的导向矢量描述全部信号。
来源
- 课程大纲 PDF 第 1 页，第（9）项。
- 第一章讲义 PDF 第 32～37 页。
- 2021 年试题 PDF 第 1 页第 5 题。
- 2018 年参考答案 PDF 第 1 页“窄带阵列信号”。
6.2 两种“窄带”概念
普通信号窄带
信号带宽 (B) 远小于中心频率 (f_0)：
$$ B\ll f_0 $$
阵列处理窄带
阵列不同阵元之间的最大传播时延远小于包络变化时间：
$$ \tau_{\max}\ll\frac{1}{B} $$
等价于：
$$ \boxed{B\tau_{\max}\ll1} $$
阵列处理中第二个条件更关键。即使 (B/f_0) 很小，如果阵列孔径非常大，阵元间时延仍可能使包络明显变化，从而成为阵列宽带信号。
6.3 窄带近似推导
设实窄带信号写成：
$$ s(t)=\Re\{z(t)e^{j\omega_0t}\} $$
其中 (z(t)) 是缓慢变化的复包络。
第 (n) 个阵元相对参考点的传播时延为 (\tau_n)，则：
$$ x_n(t) =\Re\left\{z(t-\tau_n) e^{j\omega_0(t-\tau_n)}\right\} $$
窄带条件下：
$$ z(t-\tau_n)\approx z(t) $$
因此：
$$ x_n(t) \approx \Re\left\{ z(t)e^{j\omega_0t}e^{-j\omega_0\tau_n} \right\} $$
结论：
窄带近似把阵元间的“真实时间延迟”近似成了中心频率处的“相位旋转”。
在复基带形式下：
$$ x_n(t)\approx a_n(\theta)s(t)+n_n(t) $$
阵列向量模型：
$$ \boxed{\mathbf x(t)=\mathbf a(\theta)s(t)+\mathbf n(t)} $$
多信源时：
$$ \boxed{\mathbf x(t)=\mathbf A(\boldsymbol\theta) \mathbf s(t)+\mathbf n(t)} $$
6.4 孔径渡越时间与带宽
若阵列有效孔径为 (D)，传播速度为 (c)：
$$ \tau_{\text{cross}}=\frac{D}{c} $$
$$ B_{\text{cross}}=\frac{1}{\tau_{\text{cross}}} =\frac{c}{D} $$
课程给出的实用窄带标准：
$$ B\le0.05B_{\text{cross}} $$
6.5 历年题例：2021 年孔径渡越计算
已知：
$$ D=100\text{ m},\quad f_0=300\text{ MHz}, \quad c=3\times10^8\text{ m/s} $$
中心波长：
$$ \lambda=\frac{c}{f_0} =\frac{3\times10^8}{3\times10^8}=1\text{ m} $$
最大孔径渡越时间：
$$ \tau_{\text{cross}} =\frac{100}{3\times10^8} =3.33333\times10^{-7}\text{ s} =333.333\text{ ns} $$
孔径渡越带宽：
$$ B_{\text{cross}} =\frac{3\times10^8}{100} =3\text{ MHz} $$
按 5% 判据：
$$ B\le0.05\times3\text{ MHz} =0.15\text{ MHz} =150\text{ kHz} $$
- 窄带近似结论：各阵元接收信号的复包络可以认为近似相等，但载波相位并不相同。
6.6 易错点
- 错误：“窄带时各阵元信号完全相同。”
- 正确：窄带时各阵元的复包络近似相同，但由于传播时延不同，载波相位不同。
- (B_{\text{cross}}=c/D)，不要误写成 (D/c)；后者是时间。
7. 导向矢量、阵列流形与阵列模型
7.1 学到什么程度
【必须掌握】
- 写出一般阵列导向矢量。
- 写出 ULA 导向矢量。
- 明确角度从法线还是阵列轴线起算。
- 能根据给定阵元坐标构造导向矢量。
【熟悉】
- 解释阵列流形与导向矢量的关系。
- 知道导向矢量由哪些参数决定。
来源
- 课程大纲 PDF 第 1 页，第（9）项。
- 第一章讲义 PDF 第 38～41 页。
- 2021 年试题 PDF 第 2～3 页程序填空和圆阵建模题。
- 2022 年试题 PDF 第 2、4～5 页。
- 2018 年参考答案 PDF 第 1 页“导向矢量”。
7.2 一般阵列导向矢量
设第 (n) 个阵元位置为：
$$ \mathbf r_n= \begin{bmatrix}x_n&y_n&z_n\end{bmatrix}^T $$
采用平面波约定：
$$ s(\mathbf r,t) =A e^{j(\omega t-\mathbf k^T\mathbf r)} $$
则相对于原点，第 (n) 个阵元的空间相位因子为：
$$ a_n(\mathbf k)=e^{-j\mathbf k^T\mathbf r_n} $$
导向矢量：
$$ \boxed{ \mathbf a(\mathbf k)= \begin{bmatrix} e^{-j\mathbf k^T\mathbf r_1}\\ e^{-j\mathbf k^T\mathbf r_2}\\ \vdots\\ e^{-j\mathbf k^T\mathbf r_N} \end{bmatrix}} $$
若定义传播方向单位矢量 (\mathbf u)，则：
$$ \mathbf k=\frac{2\pi}{\lambda}\mathbf u $$
所以：
$$ \boxed{ a_n(\mathbf u) =\exp\left( -j\frac{2\pi}{\lambda}\mathbf u^T\mathbf r_n \right)} $$
7.3 符号约定提醒
不同讲义可能把“传播方向”和“来波方向”定义成相反方向，也可能选用：
$$ e^{j(\omega t-\mathbf k^T\mathbf r)} $$
或：
$$ e^{j(\omega t+\mathbf k^T\mathbf r)} $$
因此导向矢量指数正负号可能不同。考试时：
- 先写清自己的传播方向和时间因子约定；
- 保证时延、相位和导向矢量三者内部一致；
- 不要只背一个正负号。
7.4 ULA 导向矢量
设 (N) 元 ULA 沿 (x) 轴排列：
$$ x_n=(n-1)d,\qquad n=1,\ldots,N $$
角度从阵列法线起算
方向在阵列轴上的投影为 (\sin\theta)，相邻阵元相位差：
$$ \Delta\phi=-kd\sin\theta $$
导向矢量：
$$ \boxed{ \mathbf a(\theta)= \begin{bmatrix} 1\\ e^{-jkd\sin\theta}\\ \vdots\\ e^{-j(N-1)kd\sin\theta} \end{bmatrix}} $$
角度从阵列轴线起算
方向投影为 (\cos\theta)，因此：
$$ \boxed{ \mathbf a(\theta)= \begin{bmatrix} 1\\ e^{-jkd\cos\theta}\\ \vdots\\ e^{-j(N-1)kd\cos\theta} \end{bmatrix}} $$
第一章讲义第 39 页使用的是从阵列轴线起算的 (\cos\theta) 形式；2021 年试卷最后一题明确以阵列法线为 (0^\circ)，应使用 (\sin\theta) 形式。
7.5 例题：4 元 ULA
已知 (N=4)、(d=\lambda/2)，角度从法线起算，(\theta=30^\circ)。
相邻阵元相位差：
$$ -kd\sin\theta =-\frac{2\pi}{\lambda} \frac{\lambda}{2}\times\frac12 =-\frac{\pi}{2} $$
所以：
$$ \mathbf a(30^\circ) = \begin{bmatrix} 1&e^{-j\pi/2}&e^{-j\pi}&e^{-j3\pi/2} \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1&-j&-1&j \end{bmatrix}^T $$
7.6 阵列流形
对所有可能方向的导向矢量构成的集合称为阵列流形：
$$ \mathcal A= \left\{\mathbf a(\theta):\theta\in\Theta\right\} $$
若有多个信源：
$$ \mathbf A(\boldsymbol\theta) = \begin{bmatrix} \mathbf a(\theta_1)& \mathbf a(\theta_2)&\cdots& \mathbf a(\theta_P) \end{bmatrix} $$
称为阵列流形矩阵或导向矩阵。
7.7 导向矢量由什么决定
远场窄带情况下主要由以下三类参数决定：
- 工作波长或中心频率；
- 各阵元等效相位中心的位置；
- 来波方向 DOA 或发射方向 DOD。
若考虑系统误差，还与阵元幅相误差、位置误差、互耦等有关。
8. 阵列方向图、空间谱与空间混叠
8.1 学到什么程度
【必须掌握】
- 写出 (B(\theta)=\mathbf w^H\mathbf a(\theta))。
- 知道功率方向图是其模平方。
- 会写均匀加权 ULA 的求和表达式。
【熟悉】
- 理解主瓣、旁瓣、零点、栅瓣。
- 理解为什么 (d=\lambda/2) 是常用阵元间距。
来源
- 课程大纲 PDF 第 1 页，第（10）项。
- 第一章讲义 PDF 第 11、15～19、31、39～41 页。
- 2021 年试题 PDF 第 2～3、8 页。
- 2022 年试题 PDF 第 1、8～10 页。
8.2 方向图定义
阵列输入：
$$ \mathbf x(t)=\mathbf a(\theta)s(t)+\mathbf n(t) $$
波束形成输出：
$$ y(t)=\mathbf w^H\mathbf x(t) $$
来自方向 (\theta) 的信号在输出端的复增益：
$$ \boxed{B(\theta)=\mathbf w^H\mathbf a(\theta)} $$
功率响应：
$$ \boxed{P(\theta)=|B(\theta)|^2} $$
8.3 常规波束形成
若希望主瓣指向 (\theta_0)，常用权值：
$$ \mathbf w=\frac{\mathbf a(\theta_0)}{N} $$
于是：
$$ B(\theta) =\frac{1}{N} \mathbf a^H(\theta_0)\mathbf a(\theta) $$
对于从法线起算的 ULA，令：
$$ \psi=kd(\sin\theta-\sin\theta_0) $$
则：
$$ B(\theta) =\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}e^{-jn\psi} $$
其归一化幅度为：
$$ \boxed{ |B(\theta)| =\left| \frac{\sin(N\psi/2)} {N\sin(\psi/2)} \right|} $$
若角度从阵列轴线起算，把 (\sin\theta) 换成 (\cos\theta)。
8.4 空间谱
空间谱描述信号能量随来波方向的分布。空间谱估计的峰值位置可用于估计 DOA。
注意：
- 方向图是给定阵列和权值的空间响应；
- 空间谱是对信号能量随方向分布的估计；
- 二者概念相关，但不要在定义题中完全等同。
8.5 阵元间距与栅瓣
相邻阵元间距过大时，不同方向可能产生相同的阵元相位差，即空间混叠，方向图出现栅瓣。
最稳妥的全视场常用条件：
$$ \boxed{d\le\frac{\lambda}{2}} $$
对从法线起算的扫描阵列，栅瓣满足：
$$ \sin\theta =\sin\theta_0+m\frac{\lambda}{d}, \qquad m=\pm1,\pm2,\ldots $$
若扫描范围为 (|\theta_0|\le\theta_{\max})，要求可见区内不出现栅瓣，可用：
$$ \boxed{ d\le\frac{\lambda} {1+\sin\theta_{\max}} } $$
例如扫描范围为 (\pm30^\circ)：
$$ d\le \frac{\lambda}{1+\sin30^\circ} =\frac{2\lambda}{3} $$
全空间扫描时 (\theta_{\max}=90^\circ)，退化为 (d\le\lambda/2)。
9. 栅格、分辨率与分辨力
9.1 学到什么程度
【必须掌握】
- 能用一句话区分扫描栅格和物理分辨力。
- 会计算角度扫描步长。
【熟悉】
- 知道孔径越大、波长越短，角度分辨力通常越高。
- 知道分辨力还受信噪比、快拍数和算法影响。
来源
- 课程大纲 PDF 第 1 页，第（6）项。
- 第一章讲义 PDF 第 17～18 页。
- 2022 年试题 PDF 第 1 页第 5 小题。
9.2 角度栅格
若扫描区间为：
$$ [\theta_{\min},\theta_{\max}] $$
含首尾共 (N_{\text{scan}}) 个扫描点，则：
$$ \boxed{ \Delta\theta_{\text{grid}} =\frac{\theta_{\max}-\theta_{\min}} {N_{\text{scan}}-1} } $$
它由程序员或出题人设置。
9.3 角度分辨力
角度分辨力表示阵列能否把两个相近方向的信号判定为两个目标。常规均匀线阵的数量级为：
$$ \Delta\theta_{\text{physical}} \sim\frac{\lambda}{D\cos\theta_0} $$
均匀加权时，3 dB 波束宽度近似为：
$$ \theta_{3\text{dB}} \approx\frac{0.886\lambda} {D\cos\theta_0}\quad\text{rad} $$
不同教材可能用 Rayleigh 分辨限、第一零点宽度或 3 dB 波束宽度描述“分辨力”，因此常数可能不同；考试应按题目采用的定义。
9.4 历年题型例子
已知：
$$ \lambda=0.03\text{ m},\quad D=0.5\text{ m} $$
扫描范围 (-90^\circ) 到 (90^\circ)，共 181 点。
角度栅格：
$$ \Delta\theta_{\text{grid}} =\frac{90-(-90)}{181-1}=1^\circ $$
宽侧方向的物理分辨力数量级：
$$ \frac{\lambda}{D} =\frac{0.03}{0.5}=0.06\text{ rad} \approx3.44^\circ $$
若采用 3 dB 波束宽度：
$$ \theta_{3\text{dB}} \approx0.886\times0.06 =0.05316\text{ rad} \approx3.05^\circ $$
结论：即使扫描步长为 (1^\circ)，阵列的常规物理分辨能力仍约为 (3^\circ) 左右。把栅格改成 (0.01^\circ) 并不会自动获得 (0.01^\circ) 的真实分辨力。
10. 近场与远场
10.1 学到什么程度
【必须掌握】
- 背出 (R>2D^2/\lambda)。
- 会代数值判断近场或远场。
- 能说明近场与远场模型的差别。
来源
- 课程大纲 PDF 第 1 页，第（11）项。
- 第一章讲义 PDF 第 28～30 页。
- 2021 年试题 PDF 第 1～2 页。
- 2022 年试题 PDF 第 1、10 页。
10.2 物理区别
远场
- 波前近似为平面；
- 阵元间主要体现线性相位差；
- 导向矢量主要依赖方向；
- 阵列各阵元接收幅度通常可近似相同。
近场
- 波前为球面；
- 相位差不仅依赖方向，还依赖目标距离；
- 不同阵元到目标的幅度也可能不同；
- 需要距离—角度联合导向矢量。
10.3 课程判据推导
设阵列孔径为 (D)，目标距离为 (R)。在远场近似下，球面波相对于平面波的最大二阶波程误差近似为：
$$ \Delta r_{\max}\approx\frac{D^2}{8R} $$
课程要求：
$$ \Delta r_{\max}<\frac{\lambda}{16} $$
所以：
$$ \frac{D^2}{8R}<\frac{\lambda}{16} $$
整理得到：
$$ \boxed{R>\frac{2D^2}{\lambda}} $$
对应的最大相位误差：
$$ \Delta\phi_{\max} =\frac{2\pi}{\lambda}\frac{\lambda}{16} =\frac{\pi}{8} =22.5^\circ $$
10.4 历年题例
例 1：2021 年参数
$$ D=100\text{ m},\quad \lambda=1\text{ m} $$
$$ R_{\text{FF}} =\frac{2D^2}{\lambda} =\frac{2\times100^2}{1} =20\,000\text{ m} =20\text{ km} $$
所以 (R>20\text{ km}) 时按课程标准视为远场。
例 2：2022 年参数
$$ D=100\text{ m},\quad \lambda=0.25\text{ m} $$
$$ R_{\text{FF}} =\frac{2\times100^2}{0.25} =80\,000\text{ m} =80\text{ km} $$
所以 (R<80\text{ km}) 属于近场范围，(R>80\text{ km}) 可按远场近似。
10.5 易错点
- (D) 是阵列孔径，不是阵元间距。
- 波长越短，同样孔径的远场边界越远。
- 近场不是“距离很近”的口语概念，而是相对于 (D^2/\lambda) 判断。
11. 极化阵列模型
11.1 学到什么程度
【了解：重点应对填空】
- 知道完全极化波常用两个极化参数描述。
- 知道完备电磁矢量传感器的六个分量。
来源
- 课程大纲 PDF 第 1～2 页，第（12）项。
- 第一章讲义 PDF 第 14 页提到极化参数估计。
- 2022 年试题 PDF 第 1 页有极化参数填空。
11.2 两个常用极化参数
完全极化波通常可用：
- 极化辅助角/幅度比参数；
- 两正交分量之间的极化相位差。
不同讲义可能写成“极化幅度”和“极化相角”。
对于部分极化波，还会用到极化度，表示总功率中完全极化部分所占比例。
资料说明：当前大纲写有“涉及极化的两个参数极化幅度、极化相角、极化度”，在数量上不一致。结合 2022 年填空题，考试所说的“两个参数”应优先回答“极化幅度（或辅助角）和极化相角（相位差）”；极化度作为部分极化描述的额外参数单独记忆。
11.3 完备电磁矢量传感器
可感知六个场分量：
$$ E_x,\ E_y,\ E_z,\ H_x,\ H_y,\ H_z $$
其中前三个是电场分量，后三个是磁场分量。
12. 历年题型专项训练
先自己作答，再展开核对答案。
12.1 填空与简答
题 1
阵列信号处理的两个主要研究方向是 __ 和 ______。
答案：自适应空域滤波；空间谱估计。
题 2
电磁波属于横波还是纵波？请说明原因。
答案：横波。理想传播条件下，电场和磁场的振动方向均与波的传播方向垂直。
题 3
写出波数矢量模长、慢速矢量及其模长。
答案：
$$ k=\|\mathbf k\|=\frac{\omega}{c}=\frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \boldsymbol\alpha=\frac{\mathbf k}{\omega}, \qquad \|\boldsymbol\alpha\|=\frac1c $$
题 4
为什么阵列中的窄带条件不能只用 (B\ll f_0) 判断？
答案：阵列还存在不同阵元之间的传播时延。只有当 (B\tau_{\max}\ll1) 时，信号复包络在阵列孔径内才近似不变，时延才能近似为中心频率处的相位差。
题 5
空间分辨力与角度扫描步长有什么区别？
答案：扫描步长是数值搜索栅格，由程序人为设置；空间分辨力是阵列区分相近目标的物理能力，由孔径、波长、信噪比、快拍数和算法等决定。减小栅格不等于提高真实分辨力。
12.2 计算题
题 6：窄带判断
阵列孔径 (D=30\text{ m})，传播速度 (c=3\times10^8\text{ m/s})。按 5% 判据，阵列窄带信号的最大带宽是多少？
解
$$ B_{\text{cross}}=\frac{c}{D} =\frac{3\times10^8}{30} =10\text{ MHz} $$
$$ B_{\max}=0.05B_{\text{cross}} =0.5\text{ MHz} $$
题 7：远场判断
阵列孔径 (D=20\text{ m})，工作波长 (\lambda=0.1\text{ m})，目标距离 (R=5\text{ km})。按课程标准判断近远场。
解
$$ R_{\text{FF}}=\frac{2D^2}{\lambda} =\frac{2\times20^2}{0.1} =8000\text{ m} =8\text{ km} $$
因为 (5\text{ km}<8\text{ km})，属于近场。
题 8：扫描栅格
扫描范围为 (-60^\circ) 到 (60^\circ)，共 1201 个扫描点，求角度栅格。
解
$$ \Delta\theta =\frac{60-(-60)}{1201-1} =0.1^\circ $$
题 9：ULA 导向矢量
3 元 ULA，(d=\lambda/2)，角度从阵列法线起算，来波方向为 (90^\circ)。写出导向矢量。
解
$$ kd\sin90^\circ =\frac{2\pi}{\lambda}\frac{\lambda}{2} =\pi $$
$$ \mathbf a(90^\circ) = \begin{bmatrix} 1&e^{-j\pi}&e^{-j2\pi} \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1&-1&1 \end{bmatrix}^T $$
12.3 MATLAB 程序模板
以下模板覆盖历年卷常见的 ULA 导向矢量和方向图程序填空。
c = 3e8;
fc = 300e6;
lambda = c / fc;
N = 8;
d = 0.5 * lambda;
x = ((0:N-1) - (N-1)/2).' * d;
theta0 = 30; % 从阵列法线起算
theta = -90:0.1:90;
% N×1 目标方向导向矢量
a0 = exp(-1j * 2*pi/lambda * x * sind(theta0));
% N×扫描点数导向矩阵
A = exp(-1j * 2*pi/lambda * x * sind(theta));
% 常规波束形成权
w = a0 / N;
% 方向图
B = w' * A;
B_dB = 20*log10(abs(B) / max(abs(B)) + eps);
plot(theta, B_dB, 'b', 'LineWidth', 1.5);
grid on;
xlabel('\theta (deg)');
ylabel('Normalized pattern (dB)');
ylim([-60 0]);若角度从阵列轴线起算，将 sind 换成 cosd。
13. 第一章自测卷
建议限时 30 分钟，总分 100 分。
一、填空题（每题 5 分，共 30 分）
- 阵列信号处理两个主要研究方向是 __ 和 ______。
- 波数矢量的模长为 ______，慢速矢量的模长为 ______。
- 阵列窄带条件可写为 ______。
- 孔径渡越时间为 ______，孔径渡越带宽为 ______。
- 完备电磁矢量传感器感知的电场分量为 ______，磁场分量为 ______。
- 当前大纲列出的融合层次包括信号级、数据级、______ 和 ______。
二、判断并改错（每题 5 分，共 20 分）
- 角度扫描步长越小，阵列真实角度分辨力一定越高。
- 阵列窄带条件下，不同阵元接收到的信号完全相同。
- 当阵列孔径固定时，波长越短，远场边界越远。
- ULA 导向矢量中只能使用 (\sin\theta)，使用 (\cos\theta) 一定错误。
三、简答题（每题 10 分，共 20 分）
- 解释波数矢量的大小、方向及恒相位面的关系。
- 说明远场平面波模型和近场球面波模型的主要区别。
四、计算题（每题 15 分，共 30 分）
- (D=50\text{ m})，(c=3\times10^8\text{ m/s})。计算孔径渡越时间、渡越带宽及按 5% 判据得到的最大窄带带宽。
- (D=40\text{ m})，(\lambda=0.2\text{ m})，判断距离阵列 (20\text{ km}) 的目标是否处于远场。
自测答案
一、填空
- 自适应空域滤波；空间谱估计。
- (2\pi/\lambda=\omega/c)；(1/c)。
- (B\tau_{\max}\ll1)。
- (D/c)；(c/D)。
- (E_x,E_y,E_z)；(H_x,H_y,H_z)。
- 情报级；态势级。
二、判断
- 错。扫描步长是搜索栅格，不是阵列物理分辨力。
- 错。复包络近似相同，但载波相位通常不同。
- 对。(R_{\text{FF}}=2D^2/\lambda)，波长越短，远场边界越远。
- 错。使用 (\sin\theta) 还是 (\cos\theta) 取决于角度从阵列法线还是阵列轴线起算。
三、简答要点
- (k=2\pi/\lambda)，表示单位距离相位变化率；(\mathbf k) 的方向为传播方向；恒相位面满足 (\mathbf k^T\mathbf r=\text{常数})，其法向量为 (\mathbf k)。
- 远场波前近似平面，导向矢量主要依赖方向；近场波前为球面，响应同时依赖方向和距离，并可能存在阵元间幅度差。
四、计算
1.
$$ \tau_{\text{cross}} =\frac{50}{3\times10^8} =1.6667\times10^{-7}\text{ s} =166.667\text{ ns} $$
$$ B_{\text{cross}} =\frac{3\times10^8}{50} =6\text{ MHz} $$
$$ B_{\max}=0.05\times6 =0.3\text{ MHz}=300\text{ kHz} $$
2.
$$ R_{\text{FF}} =\frac{2\times40^2}{0.2} =16\,000\text{ m}=16\text{ km} $$
目标距离 (20\text{ km}>16\text{ km})，按课程标准属于远场。
14. 高频易错点清单
考前务必逐条确认。
波数公式
$$ k=\frac{2\pi}{\lambda} $$
不是 (2\pi/\omega)。
慢速矢量
$$ \boldsymbol\alpha=\frac{\mathbf k}{\omega}, \quad \|\boldsymbol\alpha\|=\frac1c $$
- 窄带条件不是只看 (B/f_0)，还要看 (BD/c)。
- 复包络相同不代表各阵元的完整窄带信号完全相同。
- 角度定义优先看图：从法线起算常出现 (\sin\theta)，从阵列轴线起算常出现 (\cos\theta)。
- 导向矢量指数正负号取决于时间因子和来波方向定义，必须保持全题一致。
- 角度栅格不等于角度分辨力。
栅格与栅瓣不是同一概念：
- 栅格：扫描角度步长；
- 栅瓣：阵元间距过大导致的空间混叠。
- 近远场公式中的 (D) 是总孔径，不是阵元间距。
- 当前大纲的融合层次按四级记忆；旧卷中的“两种融合方式”属于旧口径。
- 极化题若问“两个参数”，优先答极化幅度/辅助角和极化相角/相位差；极化度单独记忆。
方向图幅度转 dB 用：
$$ 20\log_{10}|B| $$
功率转 dB 用：
$$ 10\log_{10}P $$
15. 考前十分钟背诵版
- 两大方向：自适应空域滤波、空间谱估计。
- 两种波：电磁波横波，流体声波纵波。
- 四维信号：(s(x,y,z,t))。
- 波动方程：(\nabla^2s=(1/c^2)\partial^2s/\partial t^2)。
- 平面波：(Ae^{j(\omega t-\mathbf k^T\mathbf r)})。
- 波数：(k=\omega/c=2\pi/\lambda)。
- 慢速：(\boldsymbol\alpha=\mathbf k/\omega)，模为 (1/c)。
- 窄带：(B\tau_{\max}\ll1)，(\tau_{\text{cross}}=D/c)，(B_{\text{cross}}=c/D)，课程判据 (B/B_{\text{cross}}\le5\%)。
- ULA：法线角用 (\sin\theta)，轴线角用 (\cos\theta)。
- 方向图：(B(\theta)=\mathbf w^H\mathbf a(\theta))。
- 远场：(R>2D^2/\lambda)。
- 栅格是人为扫描步长，分辨力是阵列真实能力。
- 防栅瓣常用 (d\le\lambda/2)。
- 六分量：(E_x,E_y,E_z,H_x,H_y,H_z)。
- 应用至少背：雷达、通信、声呐、地震勘探。
16. 本章资料索引与使用说明
| 资料 | 第一章用途 | 可靠性与注意事项 |
|---|---|---|
| 20260605.pdf | 当前考试大纲，第一章 12 项要求 | 复习范围的最高优先级；少量文字存在数量或排版歧义，本文已说明 |
| 第一章 概述与阵列信号模型.pdf | 基本概念、空时等效、波动方程、窄带模型、阵列几何与导向矢量 | 主要理论来源；第 25 页的 (k=2\pi/\omega) 疑似排版错误 |
| 2021 年试题.pdf>) | 基本概念、Maxwell 历史、窄带计算、远场、方向图程序、圆阵模型 | 原生文本较完整；卷面页码存在“共 7 页但 PDF 有 8 页”的问题 |
| 2022 年试题(1).pdf>) | 横纵波、空间谱、栅格与分辨力、近场、极化、导向矢量 | 图片式 PDF；卷首写五大题但实际有六大题 |
| 2018 等旧题与答案 | 窄带信号、导向矢量、阵列流形、波数矢量、Maxwell 方程 | 适合补充论述题；部分手写答案和旧口径不应高于当前大纲 |
| 阵列信号总汇编 | 历年题、答案和课程笔记总汇 | 163 页扫描汇编，包含上述资料的重复内容，使用时必须去重 |
17. 本章最终达标标准
达到以下标准即可进入第二章：
- [ ] 能在 30 秒内说出两个主要研究方向和四个应用。
- [ ] 能从波动方程推出 (k=2\pi/\lambda)。
- [ ] 能解释 (\mathbf k) 与 (\boldsymbol\alpha) 的物理意义。
- [ ] 能独立完成孔径渡越时间、渡越带宽和 5% 窄带判定。
- [ ] 能根据角度定义正确写出 ULA 导向矢量。
- [ ] 能写出 (B(\theta)=\mathbf w^H\mathbf a(\theta))。
- [ ] 能区分栅格、分辨力和栅瓣。
- [ ] 能用 (R>2D^2/\lambda) 判断近远场。
- [ ] 能回答极化两个参数和六个电磁场分量。
- [ ] 第 13 节自测达到 80 分以上。