第三章空域滤波原理与算法：零基础快速复习

适用课程：西安电子科技大学《阵列信号处理》
目标：围绕当前课程大纲，快速掌握波束形成模型、ULA 方向图、最优波束形成三准则、SMI、性能指标、天线增益与调零保形，并具备完成填空、简答、计算、推导和 MATLAB 程序题的能力。
资料优先级：当前课程大纲 > 2026 年课件 > 2021/2022 年真题 > 扫描旧题汇编。
本文默认复数向量，(H) 表示共轭转置；若题目采用不同时间因子或角度定义，导向矢量指数正负号可能改变，但整题必须保持一致。

0. 使用方法

0.1 掌握等级

【必须掌握】：能脱离资料写出公式、解释物理意义，并完成直接计算或推导。
【熟悉】：能说明条件、比较方法、看懂并补全推导。
【了解】：知道概念、用途和基本表达式即可。

0.2 时间紧时的学习路线

如果只有约 3 小时：

背第 1 节“一页必背清单”。
学第 4～6 节：模型、ULA、栅瓣、波束宽度、角度投影。
学第 8～12 节：最大 SINR、LCMV、MSE、三准则等价性、性能指标。
学第 13 节 SMI 和第 15 节调零保形。
做第 17 节真题型训练和第 18 节自测。

如果有半天：

按顺序完整学习。
手推一遍 LCMV、SMI 和调零保形权。
运行第 16 节 MATLAB 模板。
自测达到 80 分以上。

0.3 当前大纲要求与复习深度

大纲知识	应达到的程度	常见考法	重要度
波束形成概念与分类	会完整填空和分类	填空、简答	★★★★
远场窄带导向矢量	会由阵元坐标和方向写出	填空、程序、计算	★★★★★
接收与波束形成模型	会写 (\mathbf x(t))、(y(t))	填空、推导	★★★★★
输出功率与方向图	会写并解释	填空、推导	★★★★★
扫描方向图等价性	会完成短证明	推导、简答	★★★★
ULA 方向图	会写阵因子和相移	计算、程序	★★★★★
无栅瓣间距	会根据最大扫描角计算	计算题	★★★★★
3 dB 波束宽度	会代数计算并检查单位	计算题	★★★★★
加窗/幅度锥削	会说出主瓣、旁瓣、增益变化	填空、判断、简答	★★★★
阵列窄带判定	会算渡越时间、渡越带宽	计算题	★★★★★
三种角度定义	能按图写方向余弦	填空、程序、计算	★★★★
最大 SINR 准则	会写广义特征值问题	推导、简答	★★★★★
LCMV 准则	会写约束问题并推导最优权	推导题	★★★★★
MSE 准则	会写维纳解及使用条件	推导、简答	★★★★★
三准则等价性	会写成立条件和证明主线	推导题	★★★★★
SINR、IF、空间相关系数	会写线性值和 dB 值	填空、计算	★★★★★
SMI	会估计协方差、归一化权并说明快拍要求	推导、简答	★★★★★
天线方向系数与空间增益	会区分天线增益和处理增益	填空、读图、计算	★★★★
调零保形	会写优化问题、解和约束构造	推导、简答	★★★★★

1. 一页必背清单

1.1 波束形成

波束形成：通过各阵元输出的复加权求和，增强感兴趣方向信号 SOI，并抑制其他方向的干扰。

分类：

波束数量：单波束、多波束；
是否依赖接收数据：非自适应、自适应；
实现方式：模拟、数字；
目的：抗干扰、波束赋形、空分多址。

1.2 基本模型

阵列接收模型：

$$ \boxed{ \mathbf x(t) =\mathbf A\mathbf s(t)+\mathbf i(t)+\mathbf n(t)} $$

单个期望信号：

$$ \mathbf x(t) =\mathbf a(\theta_0)s(t)+\mathbf i(t)+\mathbf n(t) $$

波束形成器输出：

$$ \boxed{y(t)=\mathbf w^H\mathbf x(t)} $$

协方差矩阵：

$$ \mathbf R_x =E[\mathbf x(t)\mathbf x^H(t)] $$

输出功率：

$$ \boxed{ P_{\text{out}} =E|y(t)|^2 =\mathbf w^H\mathbf R_x\mathbf w} $$

方向图：

$$ \boxed{ B(\theta)=\mathbf w^H\mathbf a(\theta)} $$

功率方向图：

$$ P_B(\theta)=|B(\theta)|^2 $$

1.3 一般导向矢量

设阵元位置矩阵：

$$ \mathbf R= \begin{bmatrix} \mathbf r_1^T\\ \vdots\\ \mathbf r_N^T \end{bmatrix} $$

传播单位方向矢量为 (\mathbf u)，波数：

$$ k=\frac{2\pi}{\lambda} $$

采用 (e^{j\omega t}) 时间因子时：

$$ \boxed{ \mathbf a(\mathbf u) =\exp(-jk\mathbf R\mathbf u)} $$

指数函数对向量逐元素运算。

1.4 ULA

角度从阵列法线起算：

$$ \boxed{ \mathbf a(\theta)= \begin{bmatrix} 1& e^{-jkd\sin\theta}& \cdots& e^{-j(N-1)kd\sin\theta} \end{bmatrix}^T} $$

常规波束形成单位增益权：

$$ \boxed{ \mathbf w_{\text{CBF}} =\frac{\mathbf a(\theta_0)} {\mathbf a^H(\theta_0)\mathbf a(\theta_0)} =\frac{\mathbf a(\theta_0)}{N}} $$

令：

$$ \psi=kd(\sin\theta-\sin\theta_0) $$

归一化方向图幅度：

$$ \boxed{ |B(\theta)| =\left| \frac{\sin(N\psi/2)} {N\sin(\psi/2)} \right|} $$

1.5 无栅瓣间距、波束宽度与窄带

最大扫描角为 (\theta_{\max})，角度从法线起算时，为使整个可见区不出现栅瓣：

$$ \boxed{ d\le \frac{\lambda} {1+|\sin\theta_{\max}|}} $$

全空域扫描 (\theta_{\max}=90^\circ)：

$$ \boxed{d\le\frac{\lambda}{2}} $$

取等号时，第一个栅瓣恰好落在可见区边界；课程计算通常仍按“(\le)”作答，工程设计可留少量裕量。

不加窗 3 dB 全波束宽度：

$$ \boxed{ \theta_{3\text{dB}} \approx \frac{0.886\lambda} {D\cos\theta_0} \text{ rad} = \frac{50.8\lambda} {D\cos\theta_0} ^\circ} $$

孔径渡越时间和带宽：

$$ \boxed{ \tau_{\text{cross}}=\frac{L}{c}, \qquad B_{\text{cross}}=\frac{c}{L}} $$

课程判据：

$$ \boxed{ \frac{B}{B_{\text{cross}}}\le5\% \quad\Longrightarrow\quad \text{阵列窄带}} $$

1.6 三种最优准则

最大 SINR：

$$ \boxed{ \max_{\mathbf w} \frac{\mathbf w^H\mathbf R_s\mathbf w} {\mathbf w^H\mathbf R_{i+n}\mathbf w}} $$

$$ \boxed{ \mathbf R_s\mathbf w_{\text{opt}} =\lambda_{\max} \mathbf R_{i+n}\mathbf w_{\text{opt}}} $$

单个秩一信号时：

$$ \boxed{ \mathbf w_{\max\text{SINR}} \propto \mathbf R_{i+n}^{-1}\mathbf a_0} $$

LCMV：

$$ \boxed{ \begin{aligned} \min_{\mathbf w}\quad& \mathbf w^H\mathbf R_x\mathbf w\\ \text{s.t.}\quad& \mathbf C^H\mathbf w=\mathbf f \end{aligned}} $$

$$ \boxed{ \mathbf w_{\text{LCMV}} = \mathbf R_x^{-1}\mathbf C (\mathbf C^H\mathbf R_x^{-1}\mathbf C)^{-1} \mathbf f} $$

单约束 MVDR：

$$ \boxed{ \mathbf w_{\text{MVDR}} = \frac{\mathbf R_x^{-1}\mathbf a_0} {\mathbf a_0^H\mathbf R_x^{-1}\mathbf a_0}} $$

MSE：

$$ J(\mathbf w) =E|\,\mathbf w^H\mathbf x(t)-d(t)\,|^2 $$

$$ \boxed{ \mathbf w_{\text{MSE}} =\mathbf R_x^{-1}\mathbf r_{xd}}, \qquad \mathbf r_{xd}=E[\mathbf x(t)d^*(t)] $$

1.7 性能指标

$$ \boxed{ \operatorname{SINR}_{\text{out}} = \frac{\mathbf w^H\mathbf R_s\mathbf w} {\mathbf w^H\mathbf R_{i+n}\mathbf w}} $$

$$ \boxed{ \operatorname{IF} = \frac{\operatorname{SINR}_{\text{out}}} {\operatorname{SINR}_{\text{in}}}} $$

$$ \boxed{ \operatorname{IF}_{\text{dB}} = \operatorname{SINR}_{\text{out,dB}} - \operatorname{SINR}_{\text{in,dB}}} $$

空间相关系数：

$$ \boxed{ \rho(\theta_0,\theta_1) = \frac{\mathbf a^H(\theta_0)\mathbf a(\theta_1)} {\|\mathbf a(\theta_0)\|_2 \|\mathbf a(\theta_1)\|_2}} $$

1.8 SMI

$$ \boxed{ \widehat{\mathbf R} = \frac1M \sum_{m=1}^{M} \mathbf x_m\mathbf x_m^H} $$

$$ \boxed{ \mathbf w_{\text{SMI}} = \frac{\widehat{\mathbf R}^{-1}\mathbf a_0} {\mathbf a_0^H \widehat{\mathbf R}^{-1}\mathbf a_0}} $$

课程经验：

无对角加载时，为使平均性能损失不超过约 3 dB，常取 (M\ge2N)；
对角加载后可放宽到 (M>N) 的量级；
若训练数据含较强期望信号且存在导向误差，可能出现信号自相消。

1.9 天线增益与调零保形

天线方向系数：

$$ D=\frac{\text{最大辐射强度}} {\text{平均辐射强度}} $$

天线增益：

$$ \boxed{G(\theta)=\eta D(\theta)} $$

理想孔径近似：

$$ \boxed{ G\approx\frac{4\pi A_e}{\lambda^2}} $$

(N) 阵元在空间白噪声中相干合并的信号处理空间增益为：

$$ \boxed{G_{\text{proc}}=N} $$

调零保形：

$$ \boxed{ \begin{aligned} \min_{\mathbf w}\quad& \|\mathbf w-\mathbf w_q\|_2^2\\ \text{s.t.}\quad& \mathbf C^H\mathbf w=\mathbf f \end{aligned}} $$

$$ \boxed{ \mathbf w_{\text{KPSZ}} = \mathbf w_q - \mathbf C(\mathbf C^H\mathbf C)^{-1} \mathbf C^H\mathbf w_q + \mathbf C(\mathbf C^H\mathbf C)^{-1} \mathbf f} $$

2. 符号、角度与答题约定

2.1 学到什么程度

【必须掌握】

分清 (\mathbf w^H\mathbf a) 与 (\mathbf a^H\mathbf w)。
知道导向矢量指数正负号取决于时间因子、传播方向和接收方向定义。
计算前先确认角度从阵列法线还是阵列轴线起算。

来源

当前课程大纲：PDF 第 3～4 页。
第三章讲义：PDF 第 3～9 页。
2021 年试题.pdf>)：PDF 第 2～3、8 页。

2.2 推荐统一约定

本文采用：

$$ s(t,\mathbf r) =s(t)e^{j(\omega t-\mathbf k^T\mathbf r)} $$

其中：

$$ \mathbf k=k\mathbf u, \qquad k=\frac{2\pi}{\lambda} $$

于是第 (n) 个阵元的空间相位为：

$$ e^{-jk\mathbf r_n^T\mathbf u} $$

导向矢量：

$$ \mathbf a(\mathbf u) = \begin{bmatrix} e^{-jk\mathbf r_1^T\mathbf u}\\ \vdots\\ e^{-jk\mathbf r_N^T\mathbf u} \end{bmatrix} $$

若题目采用 (e^{-j\omega t})，指数符号会整体反向。只要导向矢量、权值和方向图使用同一约定，物理方向图幅度不变。

2.3 接收方向与传播方向

当前大纲第 4 页对第一种角度定义明确写出：

$$ \mathbf u_{\text{receive}} =- \begin{bmatrix} u_x&u_y&u_z \end{bmatrix}^T $$

原因是“波从目标传播到阵列”的传播方向，与“从阵列指向目标”的观察方向相反。

考试策略：题目若给图，优先按图中箭头；题目若明确给“到达波传播方向”，不要擅自改成阵列指向目标的方向。

3. 波束形成的概念与分类

3.1 学到什么程度

【必须掌握】

能完整写出波束形成定义。
能从四个维度完成分类。
能解释“空域滤波”与时域滤波的类比。

来源

当前课程大纲 PDF 第 3 页，3.1。
第三章讲义 PDF 第 6～8、18～20 页。
2021 年试题 PDF 第 2 页第 10 小题。

3.2 核心定义

波束形成是通过对各阵元接收信号进行幅相加权并求和，使期望方向信号同相叠加，同时抑制其他方向信号的空间滤波方法。

时域滤波选择频率，空域滤波选择方向：

时域处理	空域处理
输入是时间采样	输入是阵元空间采样
滤波器频响选择频率	阵列方向图选择方向
FIR 系数	阵列复权 (\mathbf w)
频率混叠	空间栅瓣

3.3 四种分类

按同时形成的波束数：
- 单波束；
- 多波束。
按是否依赖接收数据：
- 非自适应波束形成：权值由阵列结构和预定指向决定；
- 自适应波束形成：权值随信号与干扰环境变化。
按实现方式：
- 模拟波束形成；
- 数字波束形成。
按目的：
- 抗干扰；
- 波束赋形；
- 空分多址。

工程上，相控阵通常通过移相器、T/R 组件或数字通道控制阵元相位，实现波束扫描。

4. 阵列接收模型、波束形成模型与方向图

4.1 学到什么程度

【必须掌握】

会由阵元坐标、波长和方向写导向矢量。
会写阵列接收模型、波束形成输出、输出功率和方向图。
会证明扫描方向图与扫描输出功率图的等价性。

来源

当前课程大纲 PDF 第 3 页，3.2（1）～（6）。
第三章讲义 PDF 第 3～9、19 页。
2021 年试题 PDF 第 2～3 页。

4.2 导向矢量由什么决定

远场窄带导向矢量主要由以下参数决定：

载波中心频率 (f_0) 或波长 (\lambda)；
各阵元等效相位中心位置 (\mathbf r_n)；
接收时的 DOA，或发射时的 DOD；
采用的角度、时间因子和参考阵元定义。

4.3 多信号接收模型

设有 (P) 个窄带远场信号：

$$ \boxed{ \mathbf x(t) = \sum_{p=1}^{P} \mathbf a(\theta_p)s_p(t) + \mathbf n(t)} $$

矩阵形式：

$$ \boxed{ \mathbf x(t) =\mathbf A(\boldsymbol\theta)\mathbf s(t) +\mathbf n(t)} $$

其中：

$$ \mathbf A(\boldsymbol\theta) = \begin{bmatrix} \mathbf a(\theta_1)& \cdots& \mathbf a(\theta_P) \end{bmatrix} $$

4.4 波束形成输出

$$ \boxed{ y(t)=\mathbf w^H\mathbf x(t)} $$

若只有方向 (\theta) 的信号：

$$ \mathbf x(t)=\mathbf a(\theta)s(t) $$

则：

$$ y(t) = \mathbf w^H\mathbf a(\theta)s(t) = B(\theta)s(t) $$

因此：

$$ \boxed{ B(\theta)=\mathbf w^H\mathbf a(\theta)} $$

空间谱表示信号能量随空间方向的分布。常规波束扫描功率图就是一种最基本的空间谱。

4.5 输出功率

$$ \begin{aligned} P_{\text{out}} &=E[y(t)y^*(t)]\\ &=E[\mathbf w^H\mathbf x(t)\mathbf x^H(t)\mathbf w]\\ &=\boxed{\mathbf w^H\mathbf R_x\mathbf w} \end{aligned} $$

其中：

$$ \mathbf R_x=E[\mathbf x(t)\mathbf x^H(t)] $$

4.6 扫描方向图与扫描输出功率的等价性

设实际只有一个确定方向 (\theta_s) 的信号：

$$ \mathbf x(t)=\mathbf a(\theta_s)s(t) $$

扫描方向为 (\theta)，采用扫描权：

$$ \mathbf w(\theta) = \frac{\mathbf a(\theta)}{N} $$

输出：

$$ y_\theta(t) = \frac1N \mathbf a^H(\theta)\mathbf a(\theta_s)s(t) $$

输出功率：

$$ \boxed{ P_{\text{scan}}(\theta) = \frac{\sigma_s^2}{N^2} \left| \mathbf a^H(\theta) \mathbf a(\theta_s) \right|^2} $$

固定权指向 (\theta_s) 时的方向图功率：

$$ P_B(\theta) = \frac1{N^2} \left| \mathbf a^H(\theta_s) \mathbf a(\theta) \right|^2 $$

因为：

$$ \left| \mathbf a^H(\theta)\mathbf a(\theta_s) \right| = \left| \mathbf a^H(\theta_s)\mathbf a(\theta) \right| $$

所以二者只差信号功率常数 (\sigma_s^2)，归一化后形状相同。

推导题得分句：扫描波束输出功率本质上是扫描导向矢量与真实导向矢量的归一化内积模平方。

5. ULA 方向图、栅瓣、波束宽度与加窗

5.1 学到什么程度

【必须掌握】

会写 ULA 导向矢量与阵因子。
会根据最大扫描角计算无栅瓣阵元间距。
会计算相邻阵元相移和 3 dB 波束宽度。
会解释加窗对主瓣、旁瓣和增益的影响。

来源

当前课程大纲 PDF 第 3 页，3.2（7）～（10）。
第三章讲义 PDF 第 8～15 页。
2021 年试题 PDF 第 8 页计算题。
2022 年试题 PDF 第 1、9～10 页。

5.2 ULA 导向矢量

设 (N) 个阵元位于 (x) 轴，位置：

$$ x_n=nd,\qquad n=0,\ldots,N-1 $$

角度从阵列法线起算，则相邻阵元空间相位差：

$$ \phi(\theta)=kd\sin\theta $$

导向矢量：

$$ \mathbf a(\theta) = \begin{bmatrix} 1& e^{-j\phi(\theta)}& \cdots& e^{-j(N-1)\phi(\theta)} \end{bmatrix}^T $$

5.3 常规波束形成权

指向 (\theta_0)：

$$ \mathbf w = \frac{\mathbf a(\theta_0)}{N} $$

这样：

$$ \mathbf w^H\mathbf a(\theta_0)=1 $$

若不做单位增益归一化，也可写：

$$ \mathbf w=\mathbf a(\theta_0) $$

此时峰值为 (N)，但归一化方向图形状不变。

5.4 ULA 阵因子推导

$$ \begin{aligned} B(\theta) &= \frac1N \sum_{n=0}^{N-1} e^{-jnkd(\sin\theta-\sin\theta_0)}\\ &= \frac1N e^{-j(N-1)\psi/2} \frac{\sin(N\psi/2)} {\sin(\psi/2)} \end{aligned} $$

其中：

$$ \psi=kd(\sin\theta-\sin\theta_0) $$

归一化幅度：

$$ \boxed{ |B(\theta)| = \left| \frac{\sin(N\psi/2)} {N\sin(\psi/2)} \right|} $$

5.5 栅瓣条件

主瓣满足：

$$ \psi=0 $$

若还存在非零整数 (m) 使：

$$ kd(\sin\theta-\sin\theta_0) =2\pi m $$

则产生与主瓣等高的栅瓣：

$$ \sin\theta = \sin\theta_0 +m\frac{\lambda}{d} $$

要使可见区 (\sin\theta\in[-1,1]) 内不存在其他解，扫描到 (|\theta_0|\le\theta_{\max}) 时：

$$ \boxed{ d\le \frac{\lambda} {1+\sin\theta_{\max}}} $$

常用结论：

只在法线附近工作：间距可以略大；
全空域扫描：(d\le\lambda/2)；
(d>\lambda/2) 不一定在所有指向都立即出现栅瓣，但扫描范围会受到限制。

5.6 3 dB 波束宽度

$$ \boxed{ \theta_{3\text{dB}} \approx \frac{0.886\lambda} {D\cos\theta_0} \text{ rad}} $$

或：

$$ \boxed{ \theta_{3\text{dB}} \approx \frac{50.8\lambda} {D\cos\theta_0} ^\circ} $$

规律：

孔径 (D) 越大，波束越窄；
波长越短，波束越窄；
扫描角远离法线时，(\cos\theta_0) 变小，波束展宽；
接近端射方向时，上述小角度近似精度下降。

孔径口径特别说明

严格几何孔径：

$$ D=(N-1)d $$

旧讲义方向图近似中常把有效长度写成：

$$ D\approx Nd $$

二者在 (N) 很大时差别很小，但在小阵列计算中会产生不同数值。

考试策略：若题目直接给 (D)，使用题目给定值；若只给 (N,d)，当前大纲称 (D) 为阵列孔径，严格应取 ((N-1)d)。若明确要求沿用课堂近似或旧题答案，则按 (Nd) 计算，并写明采用的口径。

5.7 加窗或幅度锥削

常见窗：Taylor、Chebyshev、Hamming 等。

加窗后的典型影响：

指标	变化
旁瓣电平	降低
主瓣宽度	增大
峰值方向性/增益	通常降低
对弱目标的旁瓣遮蔽	改善
角度分辨力	通常下降

一句话背诵：加窗用主瓣变宽和增益损失，换取旁瓣降低。

5.8 2021 年真题型例题

已知：

$$ f_c=3\text{ GHz}, \quad N=16, \quad c=3\times10^8\text{ m/s} $$

波长：

$$ \lambda=\frac{c}{f_c}=0.1\text{ m} $$

（1）扫描到 (\pm30^\circ) 不出现栅瓣

$$ d\le \frac{\lambda} {1+\sin30^\circ} = \frac{0.1}{1.5} =0.0667\text{ m} $$

$$ \boxed{d\le0.0667\text{ m}} $$

（2）(d=\lambda/2)，指向 (30^\circ)

相邻阵元所需相位递进量的幅值：

$$ |\Delta\phi| =kd\sin30^\circ =\frac{2\pi}{\lambda} \frac{\lambda}{2} \frac12 =\frac{\pi}{2} $$

$$ \boxed{|\Delta\phi|=90^\circ} $$

正负号由发射/接收和权值指数约定决定。

（3）(d=\lambda/2)，指向 (60^\circ)

按旧讲义常用近似 (D\approx Nd=8\lambda)：

$$ \theta_{3\text{dB}} \approx \frac{50.8} {8\cos60^\circ} =12.7^\circ $$

按严格几何孔径 (D=(N-1)d=7.5\lambda)：

$$ \theta_{3\text{dB}} \approx \frac{50.8} {7.5\cos60^\circ} =13.55^\circ $$

旧卷按课堂公式通常优先写：

$$ \boxed{\theta_{3\text{dB}}\approx12.7^\circ} $$

并在旁边注明 (D\approx Nd)。

6. 阵列宽窄带判定与三种角度投影

6.1 学到什么程度

【必须掌握】

会计算孔径渡越时间、孔径渡越带宽和 5% 窄带上限。
能按当前大纲三幅图写出方向余弦。

来源

当前课程大纲 PDF 第 3～4 页，3.2（11）～（12）。
2022 年试题 PDF 第 1、8～10 页。
第一章讲义中的窄带模型作为原理补充。

6.2 阵列窄带条件

阵列孔径为 (L)，传播速度为 (c)：

$$ \boxed{ \tau_{\text{cross}}=\frac{L}{c}} $$

$$ \boxed{ B_{\text{cross}}=\frac1{\tau_{\text{cross}}} =\frac{c}{L}} $$

严格的数量级条件：

$$ B\tau_{\text{cross}}\ll1 $$

课程采用 5% 判据：

$$ \boxed{ B\le0.05B_{\text{cross}} =0.05\frac{c}{L}} $$

窄带时，各阵元接收信号的复包络近似相同，阵元间传播时延主要表现为载波相位差。

6.3 例题

设：

$$ L=60\text{ m}, \qquad c=3\times10^8\text{ m/s} $$

则：

$$ \tau_{\text{cross}} =\frac{60}{3\times10^8} =200\text{ ns} $$

$$ B_{\text{cross}} =\frac{3\times10^8}{60} =5\text{ MHz} $$

5% 判据：

$$ B_{\max} =0.05\times5\text{ MHz} =250\text{ kHz} $$

6.4 第一种角度定义

$$ \boxed{ \begin{aligned} u_x&=\sin\theta_1\cos\varphi_1\\ u_y&=\sin\theta_1\sin\varphi_1\\ u_z&=\cos\theta_1 \end{aligned}} $$

当前大纲对接收方向写为：

$$ \mathbf u_{\text{receive}} =- \begin{bmatrix} u_x&u_y&u_z \end{bmatrix}^T $$

6.5 第二种角度定义

$$ \boxed{ \begin{aligned} u_x&=\cos\theta_2\cos\varphi_2\\ u_y&=\cos\theta_2\sin\varphi_2\\ u_z&=\sin\theta_2 \end{aligned}} $$

它相当于把 (\theta_2) 定义为相对 (xoy) 平面的仰角。

6.6 第三种角度定义

$$ \boxed{ \begin{aligned} u_x&=\sqrt{ 1-\cos^2\theta_3-\cos^2\varphi_3}\\ u_y&=\cos\varphi_3\\ u_z&=\cos\theta_3 \end{aligned}} $$

这里 (\theta_3,\varphi_3) 分别对应与坐标轴之间的方向角。

易错点：平方根只给出 (u_x) 的绝对值。若目标可能位于不同象限，应根据图中方向补正负号；当前大纲示意图采用正根。

7. 常规波束形成与自适应波束形成

7.1 学到什么程度

【必须掌握】

会比较常规与自适应波束形成。
知道常规波束形成在白噪声背景下是空间匹配滤波。
会解释自适应权为什么依赖协方差矩阵。

来源

第三章讲义 PDF 第 18～20、45～46 页。
2022 年试题 PDF 第 2～3 页选择题。

7.2 常规波束形成

权值：

$$ \mathbf w_{\text{CBF}} = \frac{\mathbf a_0} {\mathbf a_0^H\mathbf a_0} $$

优点：

实现简单；
期望方向相干积累；
空间白噪声下是匹配滤波最优解；
不需要估计数据协方差矩阵。

缺点：

分辨力受孔径和主瓣宽度限制；
存在旁瓣，强干扰可从旁瓣进入；
加窗虽降低旁瓣，但会展宽主瓣；
权值不随干扰环境改变，抗干扰能力有限。

7.3 自适应波束形成

自适应权一般依赖：

$$ \mathbf R_x =E[\mathbf x\mathbf x^H] $$

它利用阵列数据的二阶统计信息，自动在干扰方向形成零陷，同时保持期望方向响应。

典型最优准则：

最大 SINR；
最小 MSE；
LCMV；
最大似然。

当前第三章重点是前三种。

8. 最大 SINR 准则

8.1 学到什么程度

【必须掌握】

会写 Rayleigh 商形式。
会写广义特征值方程。
单个秩一期望信号时，会化成 (\mathbf R_{i+n}^{-1}\mathbf a_0)。

来源

当前课程大纲 PDF 第 5 页。
第三章讲义 PDF 第 21～27、40～43 页。
2022 年试题 PDF 第 3、6 页。

8.2 优化问题

设：

$$ \mathbf R_x = \mathbf R_s+\mathbf R_{i+n} $$

输出期望信号功率：

$$ P_s=\mathbf w^H\mathbf R_s\mathbf w $$

输出干扰加噪声功率：

$$ P_{i+n} =\mathbf w^H\mathbf R_{i+n}\mathbf w $$

因此：

$$ \boxed{ \max_{\mathbf w\ne0} \operatorname{SINR}_{\text{out}} = \max_{\mathbf w\ne0} \frac{\mathbf w^H\mathbf R_s\mathbf w} {\mathbf w^H\mathbf R_{i+n}\mathbf w}} $$

8.3 广义特征值解

Rayleigh 商最大值对应最大广义特征值：

$$ \boxed{ \mathbf R_s\mathbf w_{\text{opt}} = \lambda_{\max} \mathbf R_{i+n}\mathbf w_{\text{opt}}} $$

(\mathbf w_{\text{opt}}) 是矩阵对：

$$ (\mathbf R_s,\mathbf R_{i+n}) $$

最大广义特征值对应的特征向量。

8.4 单个期望信号

$$ \mathbf R_s = \sigma_s^2\mathbf a_0\mathbf a_0^H $$

代入：

$$ \sigma_s^2 \mathbf a_0\mathbf a_0^H \mathbf w = \lambda \mathbf R_{i+n}\mathbf w $$

左边是 (\mathbf a_0) 的标量倍数，因此：

$$ \boxed{ \mathbf w_{\max\text{SINR}} \propto \mathbf R_{i+n}^{-1}\mathbf a_0} $$

若要求：

$$ \mathbf w^H\mathbf a_0=1 $$

则归一化为：

$$ \boxed{ \mathbf w_{\max\text{SINR}} = \frac{\mathbf R_{i+n}^{-1}\mathbf a_0} {\mathbf a_0^H \mathbf R_{i+n}^{-1}\mathbf a_0}} $$

8.5 使用条件

一般需要知道或估计：

期望信号协方差 (\mathbf R_s)；
干扰加噪声协方差 (\mathbf R_{i+n})。

如果只有纯干扰加噪声训练数据，可以直接估计 (\mathbf R_{i+n})。

9. LCMV/MVDR 准则与推导

9.1 学到什么程度

【必须掌握】

能解释“保持约束方向响应，同时最小化输出功率”。
会写一般 LCMV 解。
会独立推导单约束 MVDR/SMI 权。

来源

当前课程大纲 PDF 第 5 页。
第三章讲义 PDF 第 32～39 页。
2021 年试题 PDF 第 5 页推导题。
2022 年试题 PDF 第 3、5～6 页。

9.2 一般 LCMV

$$ \boxed{ \begin{aligned} \min_{\mathbf w}\quad& \mathbf w^H\mathbf R_x\mathbf w\\ \text{s.t.}\quad& \mathbf C^H\mathbf w=\mathbf f \end{aligned}} $$

其中：

(\mathbf C\in\mathbb C^{N\times L})：约束方向导向矢量组成的矩阵；
(\mathbf f\in\mathbb C^{L})：这些方向所需响应。

例如：

$$ \mathbf C = \begin{bmatrix} \mathbf a(\theta_0)& \mathbf a(\theta_1)& \mathbf a(\theta_2) \end{bmatrix} $$

$$ \mathbf f = \begin{bmatrix} 1&0&0 \end{bmatrix}^T $$

表示：

期望方向 (\theta_0) 单位响应；
两个干扰方向 (\theta_1,\theta_2) 置零。

9.3 一般解

$$ \boxed{ \mathbf w_{\text{LCMV}} = \mathbf R_x^{-1}\mathbf C (\mathbf C^H\mathbf R_x^{-1}\mathbf C)^{-1} \mathbf f} $$

9.4 单约束 MVDR

当：

$$ \mathbf C=\mathbf a_0, \qquad \mathbf f=1 $$

得到：

$$ \boxed{ \mathbf w_{\text{MVDR}} = \frac{\mathbf R_x^{-1}\mathbf a_0} {\mathbf a_0^H\mathbf R_x^{-1}\mathbf a_0}} $$

9.5 单约束推导

优化问题：

$$ \begin{aligned} \min_{\mathbf w}\quad& \mathbf w^H\mathbf R_x\mathbf w\\ \text{s.t.}\quad& \mathbf w^H\mathbf a_0=1 \end{aligned} $$

构造实值拉格朗日函数：

$$ \mathcal L = \mathbf w^H\mathbf R_x\mathbf w + \lambda^*(\mathbf w^H\mathbf a_0-1) + \lambda(\mathbf a_0^H\mathbf w-1) $$

对 (\mathbf w^*) 求导：

$$ \frac{\partial\mathcal L} {\partial\mathbf w^*} = \mathbf R_x\mathbf w + \lambda^*\mathbf a_0 =0 $$

所以：

$$ \mathbf w =\mu\mathbf R_x^{-1}\mathbf a_0 $$

代入约束：

$$ \mu = \frac1{ \mathbf a_0^H \mathbf R_x^{-1}\mathbf a_0} $$

得到：

$$ \boxed{ \mathbf w_{\text{opt}} = \frac{\mathbf R_x^{-1}\mathbf a_0} {\mathbf a_0^H \mathbf R_x^{-1}\mathbf a_0}} $$

9.6 约束优化问题的考试表述

在期望方向保持无失真响应 (\mathbf w^H\mathbf a_0=1) 的条件下，使阵列总输出功率最小。由于期望信号输出被固定，最小化总输出功率等价于尽可能减小输出干扰和噪声功率。

10. MSE 准则

10.1 学到什么程度

【必须掌握】

知道 MSE 需要参考信号 (d(t))。
会写互相关向量和维纳解。
能完成 MSE 与 LCMV 等价性的证明。

来源

当前课程大纲 PDF 第 5～6 页。
第三章讲义 PDF 第 28～31、40、44 页。
2022 年试题 PDF 第 3、5 页。

10.2 代价函数

波束形成输出：

$$ y(t)=\mathbf w^H\mathbf x(t) $$

误差：

$$ e(t)=y(t)-d(t) $$

均方误差：

$$ \boxed{ J(\mathbf w) =E|e(t)|^2 =E|\mathbf w^H\mathbf x(t)-d(t)|^2} $$

展开：

$$ J(\mathbf w) = \mathbf w^H\mathbf R_x\mathbf w - \mathbf w^H\mathbf r_{xd} - \mathbf r_{xd}^H\mathbf w + \sigma_d^2 $$

其中：

$$ \boxed{ \mathbf r_{xd} =E[\mathbf x(t)d^*(t)]} $$

10.3 最优权

对 (\mathbf w^*) 求导：

$$ \frac{\partial J} {\partial\mathbf w^*} = \mathbf R_x\mathbf w-\mathbf r_{xd} $$

令导数为零：

$$ \boxed{ \mathbf w_{\text{MSE}} = \mathbf R_x^{-1}\mathbf r_{xd}} $$

10.4 使用条件

需要：

已知或能构造参考信号 (d(t))；
或能够估计 (\mathbf r_{xd})。

典型应用：

自适应均衡；
多通道对消；
自适应旁瓣相消。

11. 三种准则的联系与等价性

11.1 学到什么程度

【必须掌握】

会证明最大 SINR 与 LCMV 权方向相同。
会证明 MSE 与 LCMV 权方向相同。
能准确写出等价成立条件。

来源

当前课程大纲 PDF 第 5～6 页。
第三章讲义 PDF 第 40～44 页。
2022 年试题 PDF 第 5～6 页推导题。

11.2 最大 SINR 与 LCMV

单个期望信号：

$$ \mathbf R_s = \sigma_s^2\mathbf a_0\mathbf a_0^H $$

最大 SINR：

$$ \mathbf w_{\max\text{SINR}} \propto \mathbf R_{i+n}^{-1}\mathbf a_0 $$

LCMV/MVDR 使用：

$$ \mathbf R_x = \mathbf R_{i+n} + \sigma_s^2\mathbf a_0\mathbf a_0^H $$

由矩阵求逆引理：

$$ \mathbf R_x^{-1}\mathbf a_0 = \frac{ \mathbf R_{i+n}^{-1}\mathbf a_0} { 1+\sigma_s^2 \mathbf a_0^H \mathbf R_{i+n}^{-1} \mathbf a_0} $$

因此：

$$ \boxed{ \mathbf R_x^{-1}\mathbf a_0 \propto \mathbf R_{i+n}^{-1}\mathbf a_0} $$

二者权方向完全相同；施加：

$$ \mathbf w^H\mathbf a_0=1 $$

归一化后得到相同权值。

成立条件

只有一个秩一期望信号；
期望导向矢量准确；
协方差矩阵准确或样本足够；
比较时允许忽略不影响方向图与 SINR 的非零比例因子。

资料口径说明：当前大纲第 6 页写成弱信号条件下“近似相等”，原因是推导中沿用了同一个未归一化比例因子。严格地说，两者的权方向对任意 (\sigma_s^2) 都相同；统一无失真归一化后完全相同。

11.3 MSE 与 LCMV

若：

$$ \mathbf x(t) = \mathbf a_0s(t)+\mathbf i(t)+\mathbf n(t) $$

并且参考信号只与期望信号相关，与干扰和噪声不相关，则：

$$ \begin{aligned} \mathbf r_{xd} &=E[\mathbf x(t)d^*(t)]\\ &=E[s(t)d^*(t)]\mathbf a_0\\ &=\gamma\mathbf a_0 \end{aligned} $$

所以：

$$ \boxed{ \mathbf w_{\text{MSE}} = \gamma\mathbf R_x^{-1}\mathbf a_0} $$

而单约束 LCMV：

$$ \mathbf w_{\text{LCMV}} \propto \mathbf R_x^{-1}\mathbf a_0 $$

因此二者权方向相同，归一化方向图相同。

11.4 三种准则比较

准则	需要的信息	最优权核心形式
最大 SINR	(\mathbf R_s,\mathbf R_{i+n})	最大广义特征向量
MSE	(\mathbf R_x,\mathbf r_{xd}) 或参考 (d(t))	(\mathbf R_x^{-1}\mathbf r_{xd})
LCMV	(\mathbf R_x,\mathbf C,\mathbf f)	(\mathbf R_x^{-1}\mathbf C(\cdots)^{-1}\mathbf f)

12. 输出 SINR、改善因子与空间相关系数

12.1 学到什么程度

【必须掌握】

会写线性值和 dB 值。
会解释空间相关性与抗干扰能力的关系。

来源

当前课程大纲 PDF 第 6 页。
2022 年试题 PDF 第 5 页。

12.2 输出 SINR

$$ \boxed{ \operatorname{SINR}_{\text{out}} = \frac{\mathbf w^H\mathbf R_s\mathbf w} {\mathbf w^H\mathbf R_{i+n}\mathbf w}} $$

dB 表示：

$$ \boxed{ \operatorname{SINR}_{\text{out,dB}} = 10\log_{10} \operatorname{SINR}_{\text{out}}} $$

12.3 改善因子

$$ \boxed{ \operatorname{IF} = \frac{\operatorname{SINR}_{\text{out}}} {\operatorname{SINR}_{\text{in}}}} $$

dB 表示：

$$ \boxed{ \operatorname{IF}_{\text{dB}} =10\log_{10}\operatorname{IF}} $$

也等于：

$$ \boxed{ \operatorname{IF}_{\text{dB}} = \operatorname{SINR}_{\text{out,dB}} - \operatorname{SINR}_{\text{in,dB}}} $$

12.4 空间相关系数

$$ \boxed{ \rho = \frac{ \mathbf a^H(\theta_0)\mathbf a(\theta_1)} { \sqrt{ \mathbf a^H(\theta_0)\mathbf a(\theta_0)} \sqrt{ \mathbf a^H(\theta_1)\mathbf a(\theta_1)}}} $$

等价写法：

$$ \rho = \frac{ \mathbf a^H(\theta_0)\mathbf a(\theta_1)} { \|\mathbf a(\theta_0)\|_2 \|\mathbf a(\theta_1)\|_2} $$

性质：

$$ 0\le|\rho|\le1 $$

定性关系：

(|\rho|\approx1)：期望和干扰的空间特征非常相似，难以分离；
(|\rho|\approx0)：二者近似正交，较容易抑制干扰；
同方向时 (|\rho|=1)，仅靠空间处理通常不能区分；
增大有效孔径通常能使相近角度导向矢量更快去相关。

13. SMI：采样协方差矩阵求逆

13.1 学到什么程度

【必须掌握】

会写样本协方差矩阵和 SMI 权。
会从 LCMV 推导归一化 SMI 权。
会说明快拍数、对角加载和期望信号污染的影响。

来源

当前课程大纲 PDF 第 6 页。
第三章讲义 PDF 第 55～61 页。
2021 年试题 PDF 第 5 页。

13.2 基本思想

理论最优权需要真实协方差矩阵，但实际只能用 (M) 个快拍估计：

$$ \boxed{ \widehat{\mathbf R}(M) = \frac1M \sum_{m=1}^{M} \mathbf x_m\mathbf x_m^H} $$

若样本独立同分布、零均值，并满足适当统计条件：

$$ \widehat{\mathbf R}(M) \longrightarrow \mathbf R, \qquad M\to\infty $$

13.3 SMI 权

未归一化：

$$ \widetilde{\mathbf w}_{\text{SMI}} = \widehat{\mathbf R}^{-1}\mathbf a_0 $$

满足无失真约束的归一化权：

$$ \boxed{ \mathbf w_{\text{SMI}} = \frac{ \widehat{\mathbf R}^{-1}\mathbf a_0} { \mathbf a_0^H \widehat{\mathbf R}^{-1}\mathbf a_0}} $$

13.4 2021 年推导题标准答案结构

题目：

$$ \begin{aligned} \min_{\mathbf w}\quad& \mathbf w^H\widehat{\mathbf R}_x\mathbf w\\ \text{s.t.}\quad& \mathbf w^H\mathbf a_0=1 \end{aligned} $$

答题顺序：

写优化含义：固定期望方向单位响应，最小化阵列输出功率。
写拉格朗日函数。
对 (\mathbf w^*) 求导。
得到：
$$ \mathbf w =\mu\widehat{\mathbf R}_x^{-1}\mathbf a_0 $$
代入约束求：
$$ \mu = \frac1{ \mathbf a_0^H \widehat{\mathbf R}_x^{-1}\mathbf a_0} $$
写最终答案：
$$ \boxed{ \mathbf w_{\text{SMI}} = \frac{ \widehat{\mathbf R}_x^{-1}\mathbf a_0} { \mathbf a_0^H \widehat{\mathbf R}_x^{-1}\mathbf a_0}} $$

13.5 快拍数

第三章讲义给出的工程经验：

$$ \boxed{M\ge2N} $$

可使平均性能损失控制在约 3 dB 以内。

使用对角加载：

$$ \widehat{\mathbf R}_{\delta} = \widehat{\mathbf R} +\delta\mathbf I $$

可抑制小特征值和特征向量误差的影响，讲义给出可将快拍要求放宽到：

$$ \boxed{M>N} $$

的量级。

13.6 为什么会信号自相消

理想情况下，若导向矢量准确并严格满足无失真约束，使用含期望信号的 (\mathbf R_x) 仍可得到正确权方向。

实际有限快拍下：

样本协方差存在误差；
阵列导向矢量存在幅相误差、互耦、位置误差；
期望信号越强，它在样本协方差中的影响越明显；
自适应处理可能把期望信号误当成需要最小化的成分。

结果是在期望方向形成零陷，导致输出 SINR 严重下降。

13.7 白噪声特例

若只有空间白噪声：

$$ \mathbf R_n=\sigma_n^2\mathbf I $$

则：

$$ \mathbf R_n^{-1}\mathbf a_0 = \frac1{\sigma_n^2}\mathbf a_0 $$

最优权退化为常规匹配权。因此讲义所说“白噪声下自适应无意义”，是指它不能比常规波束形成额外形成有用干扰零陷。

14. 天线方向系数、空间增益与处理增益

14.1 学到什么程度

【必须掌握】

会从图中色标读最大增益和对应方向。
会写 (G=\eta D) 和孔径增益公式。
会区分天线空间增益与信号处理空间增益。

来源

当前课程大纲 PDF 第 6～7 页。
2022 年试题 PDF 第 2 页第 13 小题。

14.2 方向系数与增益

方向系数：

$$ \boxed{ D = \frac{\text{某球面上的最大辐射强度}} {\text{该球面上的平均辐射强度}}} $$

天线增益：

$$ \boxed{ G(\theta)=\eta D(\theta)} $$

其中 (\eta) 是效率。

孔径天线近似：

$$ \boxed{ G \approx \frac{4\pi A_e}{\lambda^2}} $$

若 (A) 是物理面积：

$$ G \approx \eta_a\frac{4\pi A}{\lambda^2} $$

其中 (\eta_a) 是孔径效率。

14.3 用波束宽度估计增益

当两个正交平面的 3 dB 波束宽度以度为单位时：

$$ \boxed{ G \approx \frac{32383} {\theta_{3\text{dB},x} \theta_{3\text{dB},y}}} $$

这是经验近似，适合窄铅笔波束。

当前大纲第 7 页示例图右侧色标的最大值为：

$$ \boxed{35.383\text{ dBi}} $$

读图题应取色标顶端数值；最大增益方向对应图中的红色主瓣峰值方向。

14.4 定性规律

波束越窄，方向性和最大空间增益通常越大；
固定孔径面积时，波长越短，增益越大；
固定波长时，面积越大，增益越大；
背板、馈电损耗、孔径效率会影响精确增益。

资料纠错：当前大纲第 7 页有一句“天线面积一定，波长越大，天线增益越大”，与同页 (G=4\pi A/\lambda^2) 矛盾。正确关系是固定面积时波长越短，增益越大。

14.5 天线增益与信号处理增益

概念	主要决定因素
天线空间增益	物理孔径、波长、效率、波束宽度
信号处理空间增益	阵元数、处理自由度、权值与噪声模型

对 (N) 个阵元、等增益信号和独立同功率白噪声，空间匹配滤波后：

$$ \boxed{ G_{\text{proc}}=N} $$

dB：

$$ \boxed{ G_{\text{proc,dB}} =10\log_{10}N} $$

15. 调零保形算法

15.1 学到什么程度

【必须掌握】

会解释“调零”和“保形”分别是什么意思。
会构造 (\mathbf C,\mathbf f)。
会推导最优权。

来源

当前课程大纲 PDF 第 7 页。
调零保形补充课件：PDF 第 2～5 页。

15.2 核心思想

已有静态权 (\mathbf w_q)，它可能来自：

常规波束形成；
Taylor/Chebyshev 加窗；
已设计好的覆盖波束。

现在希望：

在干扰方向形成零陷；
新权值尽量接近原静态权；
尽可能保持原方向图的主瓣和低旁瓣特性。

15.3 优化问题

$$ \boxed{ \begin{aligned} \min_{\mathbf w}\quad& \|\mathbf w-\mathbf w_q\|_2^2\\ \text{s.t.}\quad& \mathbf C^H\mathbf w=\mathbf f \end{aligned}} $$

15.4 约束构造

一个期望方向 (\theta_0)，两个干扰方向 (\theta_1,\theta_2)：

$$ \mathbf C = \begin{bmatrix} \mathbf a(\theta_0)& \mathbf a(\theta_1)& \mathbf a(\theta_2) \end{bmatrix} $$

$$ \mathbf f = \begin{bmatrix} 1&0&0 \end{bmatrix}^T $$

表示：

$$ \mathbf w^H\mathbf a(\theta_0)=1 $$

$$ \mathbf w^H\mathbf a(\theta_1)=0, \qquad \mathbf w^H\mathbf a(\theta_2)=0 $$

15.5 推导

目标函数：

$$ J = (\mathbf w-\mathbf w_q)^H (\mathbf w-\mathbf w_q) $$

构造拉格朗日函数并对 (\mathbf w^*) 求导，可得：

$$ \mathbf w = \mathbf w_q-\mathbf C\boldsymbol\lambda $$

代入：

$$ \mathbf C^H\mathbf w=\mathbf f $$

得到：

$$ \boldsymbol\lambda = (\mathbf C^H\mathbf C)^{-1} (\mathbf C^H\mathbf w_q-\mathbf f) $$

因此：

$$ \boxed{ \mathbf w_{\text{opt}} = \mathbf w_q - \mathbf C (\mathbf C^H\mathbf C)^{-1} (\mathbf C^H\mathbf w_q-\mathbf f)} $$

展开即：

$$ \boxed{ \mathbf w_{\text{opt}} = \mathbf w_q - \mathbf C(\mathbf C^H\mathbf C)^{-1} \mathbf C^H\mathbf w_q + \mathbf C(\mathbf C^H\mathbf C)^{-1} \mathbf f} $$

15.6 几何意义

调零保形解是满足线性约束的所有权向量中，距离 (\mathbf w_q) 最近的一个。

也可写成：

$$ \mathbf w_{\text{opt}} = \left[ \mathbf I - \mathbf C(\mathbf C^H\mathbf C)^{-1} \mathbf C^H \right]\mathbf w_q + \mathbf C(\mathbf C^H\mathbf C)^{-1}\mathbf f $$

第一项把 (\mathbf w_q) 中违反约束的分量投影出去，第二项补上满足指定响应的最小范数分量。

15.7 注意事项

需要预先知道或估计干扰 DOA；
可用多个相邻零约束形成展宽零陷，提高对 DOA 误差的稳健性；
约束越多，消耗的自由度越多；
主瓣附近干扰会迫使权值发生较大变化，保形难度更高；
若 (\mathbf C) 列不满秩，应使用伪逆或去除重复约束。

资料符号说明：当前大纲第 7 页目标函数中写 (\mathbf w_p)，最终解写 (\mathbf w_q)；补充课件统一使用静态权 (\mathbf w_q)。本文按 (\mathbf w_q) 统一。

16. MATLAB 考试模板

16.1 ULA 常规方向图

c = 3e8;
fc = 3e9;
lambda = c / fc;

N = 16;
d = 0.5 * lambda;
x = (0:N-1).' * d;

theta0 = 30;                 % 从阵列法线起算
theta = -90:0.1:90;
k = 2*pi/lambda;

a0 = exp(-1j*k*x*sind(theta0));
A  = exp(-1j*k*x*sind(theta));

w = a0 / (a0' * a0);        % w^H a(theta0)=1

B = w' * A;
B_dB = 20*log10(abs(B) / max(abs(B)) + eps);

plot(theta, B_dB, 'LineWidth', 1.5);
grid on;
xlabel('\theta (deg)');
ylabel('Normalized pattern (dB)');
ylim([-60 0]);

16.2 最大 SINR 广义特征值解

[V, D] = eig(Rs, Rin);
[~, idx] = max(real(diag(D)));
w_maxsinr = V(:, idx);

% 可选：期望方向无失真归一化
w_maxsinr = w_maxsinr / (a0' * w_maxsinr);

16.3 LCMV

% C: N x L 约束矩阵
% f: L x 1 期望响应
V = Rx \ C;
w_lcmv = V * ((C' * V) \ f);

不要在程序题中优先写：

inv(Rx)

更稳定的写法是反斜杠：

Rx \ C

16.4 MSE

rxd = mean(X .* conj(d), 2);
Rx = X * X' / size(X, 2);
w_mse = Rx \ rxd;

其中：

X 为 (N\times M) 快拍矩阵；
d 为 (1\times M) 参考信号。

16.5 SMI/MVDR

M = size(X, 2);
Rhat = X * X' / M;

% 可选对角加载
delta = 1e-3 * trace(Rhat) / size(Rhat,1);
Rload = Rhat + delta * eye(size(Rhat));

v = Rload \ a0;
w_smi = v / (a0' * v);

16.6 SINR、IF 和空间相关系数

SINRout = real(w' * Rs * w) / real(w' * Rin * w);
SINRout_dB = 10*log10(SINRout);

IF = SINRout / SINRin;
IF_dB = 10*log10(IF);

rho = (a0' * a1) / (norm(a0) * norm(a1));

16.7 调零保形

% wq: 静态权
% C : 约束矩阵
% f : 指定响应
w_kpsz = wq - C * ((C' * C) \ (C' * wq - f));

% 检查约束
constraint_error = norm(C' * w_kpsz - f);

17. 历年题型专项训练

17.1 填空题

题 1

波束形成是用一定形状的波束增强 ______，并抑制 ______。

答案：感兴趣或期望方向信号；其他方向的干扰信号。

题 2

按是否依赖阵列接收数据，波束形成分为 __ 和 ______。

答案：非自适应波束形成；自适应波束形成。

题 3

阵列输出为 (y(t)=) ______，输出功率为 ______。

答案：

$$ \mathbf w^H\mathbf x(t); \qquad \mathbf w^H\mathbf R_x\mathbf w $$

题 4

孔径渡越时间为 ______，孔径渡越带宽为 ______。

答案：

$$ \frac{L}{c}; \qquad \frac{c}{L} $$

题 5

至少写出三种最优自适应波束形成准则。

答案：最大 SINR、最小 MSE、LCMV；也可答最大似然。

题 6

天线增益等于 __ 乘以 ______。

答案：方向系数；效率。

题 6A

空间谱表示信号在各个上的分布。

答案：方向；能量。

题 6B

相控阵通常使用、等器件实现波束扫描。

答案：移相器；T/R 组件。若原题给出其他课堂器件名称，按题目或课堂用词作答。

17.2 判断题

题 7

把角度扫描步长减小一半，阵列的物理 3 dB 波束宽度也一定减小一半。

答案：错。扫描步长是数值栅格，物理波束宽度主要由孔径、波长、扫描角和加窗决定。

题 8

加窗可以降低旁瓣，但通常会使主瓣变宽。

答案：对。

题 9

LCMV 必须知道参考信号 (d(t))。

答案：错。MSE 需要参考信号；LCMV 需要约束方向/响应和协方差矩阵。

题 10

当 (\mathbf R_n=\sigma_n^2\mathbf I) 时，最大 SNR 权与常规匹配权方向相同。

答案：对。

17.3 推导题

题 11：MSE 与 LCMV 的等价性

若：

$$ \mathbf x(t) = \mathbf a_0s(t)+\mathbf i(t)+\mathbf n(t) $$

且 (d(t)) 只与 (s(t)) 相关，证明 MSE 权与单约束 LCMV 权方向相同。

解

$$ \begin{aligned} \mathbf r_{xd} &=E[\mathbf x(t)d^*(t)]\\ &=E[s(t)d^*(t)]\mathbf a_0\\ &=\gamma\mathbf a_0 \end{aligned} $$

所以：

$$ \mathbf w_{\text{MSE}} = \mathbf R_x^{-1}\mathbf r_{xd} = \gamma\mathbf R_x^{-1}\mathbf a_0 $$

而：

$$ \mathbf w_{\text{LCMV}} \propto \mathbf R_x^{-1}\mathbf a_0 $$

故二者相差非零比例因子，方向图归一化后相同。

题 12：最大 SINR 与 LCMV

写出证明主线：

最大 SINR 单信号解：
$$ \mathbf w \propto \mathbf R_{i+n}^{-1}\mathbf a_0 $$
写：
$$ \mathbf R_x = \mathbf R_{i+n} + \sigma_s^2\mathbf a_0\mathbf a_0^H $$
用矩阵求逆引理证明：
$$ \mathbf R_x^{-1}\mathbf a_0 \propto \mathbf R_{i+n}^{-1}\mathbf a_0 $$
统一无失真归一化，得到相同权。

17.4 计算题

题 13：窄带判定

孔径 (L=30\text{ m})，求孔径渡越时间、渡越带宽和 5% 窄带上限。

解

$$ \tau_{\text{cross}} = \frac{30}{3\times10^8} =100\text{ ns} $$

$$ B_{\text{cross}} = \frac{3\times10^8}{30} =10\text{ MHz} $$

$$ B_{\max} =0.05\times10 =0.5\text{ MHz} $$

题 14：无栅瓣间距

ULA 最大扫描角为 (\pm60^\circ)，求最大阵元间距。

解

$$ d_{\max} = \frac{\lambda} {1+\sin60^\circ} =0.5359\lambda $$

为便于设计通常仍取：

$$ d=\frac{\lambda}{2} $$

题 15：3 dB 波束宽度

已知：

$$ D=20\lambda, \qquad \theta_0=30^\circ $$

则：

$$ \theta_{3\text{dB}} = \frac{50.8} {20\cos30^\circ} =2.93^\circ $$

17.5 调零保形题

题 16

期望方向为 (0^\circ)，干扰方向为 (30^\circ) 和 (-40^\circ)。写出约束矩阵和响应向量。

答案

$$ \mathbf C = \begin{bmatrix} \mathbf a(0^\circ)& \mathbf a(30^\circ)& \mathbf a(-40^\circ) \end{bmatrix} $$

$$ \mathbf f = \begin{bmatrix} 1&0&0 \end{bmatrix}^T $$

18. 第三章自测卷

建议限时 45 分钟，总分 100 分。

一、填空题（每题 5 分，共 30 分）

波束形成输出为 ______，方向图为 ______。
输出功率为 ______。
ULA 全空域扫描无栅瓣的常用间距条件为 ______。
3 dB 波束宽度近似为 ______。
最大 SINR 单个秩一信号的权方向为 ______。
SMI 的样本协方差矩阵为 ______。

二、判断并改错（每题 5 分，共 20 分）

加窗降低旁瓣，同时使主瓣变窄。
MSE 准则不需要参考信号。
最大 SINR 权的任意非零比例缩放不改变 SINR。
空间相关系数绝对值越接近 1，期望信号与干扰通常越容易分离。

三、简答题（每题 10 分，共 20 分）

比较常规波束形成和自适应波束形成。
解释调零保形优化问题中“调零”和“保形”的含义。

四、计算与推导（每题 15 分，共 30 分）

(N=12)，(d=\lambda/2)，按旧讲义近似 (D\approx Nd)，扫描角 (\theta_0=45^\circ)。计算 3 dB 波束宽度。
推导单约束 LCMV/SMI 权。

自测答案

一、填空

$$ y(t)=\mathbf w^H\mathbf x(t); \qquad B(\theta)=\mathbf w^H\mathbf a(\theta) $$

$$ \mathbf w^H\mathbf R_x\mathbf w $$

$$ d\le\lambda/2 $$

$$ \frac{0.886\lambda} {D\cos\theta_0} \text{ rad} $$

$$ \mathbf R_{i+n}^{-1}\mathbf a_0 $$

$$ \widehat{\mathbf R} = \frac1M\sum_{m=1}^{M} \mathbf x_m\mathbf x_m^H $$

二、判断

错。加窗降低旁瓣，但通常使主瓣变宽、峰值增益下降。
错。MSE 需要参考信号或互相关向量 (\mathbf r_{xd})。
对。分子分母同时乘相同比例因子的模平方。
错。越接近 1，空间特征越相似，越难分离。

三、简答

常规权由阵列几何与预定指向决定，实现简单，但不能随干扰变化；自适应权依赖样本协方差或参考信号，可在干扰方向自动形成零陷，但需要训练数据、矩阵运算，并对快拍数和模型误差敏感。
“调零”是在干扰方向设置零或很小的响应；“保形”是让新权尽量接近原静态权，从而尽可能保持原主瓣与旁瓣结构。

四、计算与推导

$$ D\approx Nd=6\lambda $$

$$ \theta_{3\text{dB}} = \frac{50.8} {6\cos45^\circ} = 11.97^\circ $$

推导见第 9.5 节，最终：
$$ \boxed{ \mathbf w = \frac{\mathbf R^{-1}\mathbf a_0} {\mathbf a_0^H\mathbf R^{-1}\mathbf a_0}} $$

19. 高频易错点

波束形成输出是：
$$ \mathbf w^H\mathbf x $$
不是 (\mathbf w^T\mathbf x)。
方向图幅度转 dB：
$$ 20\log_{10}|B| $$
功率和 SINR 转 dB：
$$ 10\log_{10}P $$
导向矢量正负号取决于约定，不要脱离题目单独判断。
从阵列法线起算常用 (\sin\theta)；从阵列轴线起算常用 (\cos\theta)。
阵元间距过大产生的是栅瓣，不是普通旁瓣。
扫描角越大，无栅瓣允许间距越小。
加窗降低旁瓣，但会展宽主瓣并降低增益。
3 dB 公式中的 (\cos\theta_0) 不能漏。
度与弧度公式不要混用：(0.886) 对应 rad，(50.8) 对应度。
(D) 是孔径，不是单个阵元间距；旧讲义可能用 (D\approx Nd)。
阵列窄带不能只看 (B/f_0)，还必须看 (BL/c)。
窄带条件表示复包络近似相同，不表示各阵元完整带通信号完全相同。
最大 SINR 分母应是干扰加噪声协方差，不是总协方差。
LCMV 不需要参考信号；MSE 需要参考信号或互相关向量。
权向量乘非零常数不改变归一化方向图和 SINR，但会改变绝对输出幅度。
LCMV 单约束最终必须除以：
$$ \mathbf a_0^H\mathbf R^{-1}\mathbf a_0 $$
理想秩一信号下，(\mathbf R_x^{-1}\mathbf a_0) 与 (\mathbf R_{i+n}^{-1}\mathbf a_0) 是比例关系。
SMI 中 (M<N) 时样本协方差至多秩 (M)，通常不可直接求逆。
不要在 MATLAB 中无脑使用 inv(R)；优先使用 R \ a。
对角加载是：
$$ \widehat{\mathbf R}+\delta\mathbf I $$
不是给权向量直接加常数。
空间相关系数应做范数归一化。
天线物理空间增益与信号处理空间增益不是同一概念。
固定孔径面积时，波长越短，理想孔径增益越大。
调零保形中，(\mathbf C) 的列是约束方向导向矢量，(\mathbf f) 是这些方向的期望响应。
约束数量不能无限增加，每个独立约束都消耗空间自由度。

20. 考前十分钟背诵版

波束形成：增强 SOI，抑制其他方向干扰。
输出：(y=\mathbf w^H\mathbf x)。
输出功率：(\mathbf w^H\mathbf R_x\mathbf w)。
方向图：(B(\theta)=\mathbf w^H\mathbf a(\theta))。
一般导向矢量：(\mathbf a=\exp(-jk\mathbf R\mathbf u))。
ULA：第 (n) 项 (e^{-jnkd\sin\theta})。
常规权：(\mathbf w=\mathbf a_0/N)。
全空域无栅瓣：(d\le\lambda/2)。
扫描到 (\theta_{\max})：(d\le\lambda/(1+\sin\theta_{\max}))。
波束宽度：(0.886\lambda/(D\cos\theta_0)) rad。
加窗：旁瓣降、主瓣宽、增益降。
渡越时间：(L/c)；渡越带宽：(c/L)。
课程窄带：(B/B_{\text{cross}}\le5\%)。
最大 SINR：(R_sw=\lambda R_{i+n}w)。
单信号最大 SINR：(w\propto R_{i+n}^{-1}a_0)。
LCMV：最小 (w^HR_xw)，约束 (C^Hw=f)。
LCMV 解：(R_x^{-1}C(C^HR_x^{-1}C)^{-1}f)。
单约束：(R^{-1}a/(a^HR^{-1}a))。
MSE：(w=R_x^{-1}r_{xd})。
MSE、LCMV、最大 SINR 在准确单信号条件下权方向一致。
输出 SINR：(w^HR_sw/(w^HR_{i+n}w))。
IF：(\operatorname{SINR}_{out}/\operatorname{SINR}_{in})。
空间相关：(a_0^Ha_1/(|a_0||a_1|))。
SMI：(\hat R=XX^H/M)，再代替理论 (R)。
快拍经验：无加载 (M\ge2N)，加载后可放宽到 (M>N) 量级。
天线增益：(G=\eta D)，理想孔径 (G\approx4\pi A_e/\lambda^2)。
白噪声空间匹配处理增益：(N)。
调零保形：离静态权最近，同时满足 (C^Hw=f)。

21. 资料索引与可靠性说明

资料	第三章用途	可靠性与注意事项
20260605.pdf	当前第三章考试范围，PDF 第 3～7 页	最高优先级；第 6 页等价性比例因子、第 7 页波长与增益文字存在口径或笔误，本文已说明
第三章空域滤波：原理及算法	波束形成模型、ULA、最优准则、SMI	主理论来源；PDF 第 3～46、55～61 页为当前大纲核心
调零保形补充课件	调零保形原理、推导和约束解释	虽放在第四章补充目录，但当前大纲将该知识列入第三章
2021 年试题.pdf>)	波束形成分类、程序、SMI 推导、栅瓣、相移、波束宽度	原生文字 PDF；SMI 和 ULA 计算是高价值真题
2022 年试题(1).pdf>)	波束概念、最优准则、MSE/LCMV/最大 SINR 等价性、SINR、IF、增益	图片式 PDF，本文按页面视觉核读
扫描旧题与答案	LCMV、GSC、旧题推导补充	年份和口径混杂，优先用于识别题型，不高于当前大纲
阵列信号总汇编	旧卷、手写答案、复习笔记汇总	163 页扫描资料，重复且手写答案质量不一，仅作交叉核对

21.1 本文采用的纠错与统一

当前大纲第 7 页“固定面积、波长越大、增益越大”与公式矛盾，本文按正确公式改为波长越短、增益越大。
调零保形静态权在大纲中同时出现 (\mathbf w_p,\mathbf w_q)，本文按补充课件统一为 (\mathbf w_q)。
最大 SINR 与 LCMV 的未归一化权可能差比例因子；本文区分“权方向等价”和“归一化后权值相同”。
ULA 孔径同时存在严格 ((N-1)d) 与旧讲义近似 (Nd) 两种口径，本文在例题中明确列出。
导向矢量指数符号不强行唯一化，统一要求与题目时间因子和方向定义保持一致。

22. 本章最终达标标准

[ ] 能完整写出波束形成定义与四种分类。
[ ] 能由任意阵元坐标和方向矢量构造导向矢量。
[ ] 能写接收模型、输出、输出功率和方向图。
[ ] 能证明扫描方向图与扫描输出功率图等价。
[ ] 能写 ULA 阵因子并计算相邻相移。
[ ] 能根据最大扫描角计算无栅瓣间距。
[ ] 能计算 3 dB 波束宽度，并说明采用的孔径口径。
[ ] 能解释加窗对主瓣、旁瓣和增益的影响。
[ ] 能计算渡越时间、渡越带宽和 5% 窄带上限。
[ ] 能写当前大纲三种角度定义的方向投影。
[ ] 能写最大 SINR 广义特征值问题及秩一信号解。
[ ] 能独立推导单约束 LCMV/SMI 权。
[ ] 能写 MSE 代价函数和维纳解。
[ ] 能说明三种准则的等价条件。
[ ] 能写输出 SINR、IF、dB 形式和空间相关系数。
[ ] 能说明 SMI 快拍数、对角加载和信号自相消问题。
[ ] 能区分天线空间增益与信号处理空间增益。
[ ] 能构造调零保形的 (\mathbf C,\mathbf f) 并推导最优权。
[ ] 能补全第 16 节 MATLAB 模板。
[ ] 第 18 节自测达到 80 分以上。

第三章 空域滤波原理与算法：零基础快速复习

0. 使用方法

0.1 掌握等级

0.2 时间紧时的学习路线

0.3 当前大纲要求与复习深度

1. 一页必背清单

1.1 波束形成

1.2 基本模型

1.3 一般导向矢量

1.4 ULA

1.5 无栅瓣间距、波束宽度与窄带

1.6 三种最优准则

1.7 性能指标

1.8 SMI

1.9 天线增益与调零保形

2. 符号、角度与答题约定

2.1 学到什么程度

2.2 推荐统一约定

2.3 接收方向与传播方向

3. 波束形成的概念与分类

3.1 学到什么程度

3.2 核心定义

3.3 四种分类

4. 阵列接收模型、波束形成模型与方向图

4.1 学到什么程度

4.2 导向矢量由什么决定

4.3 多信号接收模型

4.4 波束形成输出

4.5 输出功率

4.6 扫描方向图与扫描输出功率的等价性

5. ULA 方向图、栅瓣、波束宽度与加窗

5.1 学到什么程度

5.2 ULA 导向矢量

5.3 常规波束形成权

5.4 ULA 阵因子推导

5.5 栅瓣条件

5.6 3 dB 波束宽度

孔径口径特别说明

5.7 加窗或幅度锥削

5.8 2021 年真题型例题

（1）扫描到 (\pm30^\circ) 不出现栅瓣

（2）(d=\lambda/2)，指向 (30^\circ)

（3）(d=\lambda/2)，指向 (60^\circ)

6. 阵列宽窄带判定与三种角度投影

6.1 学到什么程度

6.2 阵列窄带条件

6.3 例题

6.4 第一种角度定义

6.5 第二种角度定义

6.6 第三种角度定义

7. 常规波束形成与自适应波束形成

7.1 学到什么程度

7.2 常规波束形成

7.3 自适应波束形成

8. 最大 SINR 准则

8.1 学到什么程度

8.2 优化问题

8.3 广义特征值解

8.4 单个期望信号

8.5 使用条件

9. LCMV/MVDR 准则与推导

9.1 学到什么程度

9.2 一般 LCMV

9.3 一般解

9.4 单约束 MVDR

9.5 单约束推导

9.6 约束优化问题的考试表述

10. MSE 准则

10.1 学到什么程度

10.2 代价函数

10.3 最优权

10.4 使用条件

11. 三种准则的联系与等价性

11.1 学到什么程度

11.2 最大 SINR 与 LCMV

成立条件

11.3 MSE 与 LCMV

11.4 三种准则比较

12. 输出 SINR、改善因子与空间相关系数

12.1 学到什么程度

第三章空域滤波原理与算法：零基础快速复习