第六章稳健阵列信号处理：零基础快速复习

适用课程：西安电子科技大学《阵列信号处理》
核心目标：严格围绕当前第六章复习大纲，掌握基于校正源的内外场阵列校正原理，理解无校正源自校正、高阶累积量抗高斯色噪声、循环平稳性与多普勒信息的稳健机理，并能说明常用稳健处理方法。
资料优先级：2026 年 6 月 5 日课程大纲 > 2026 年第六章 A/B/C 课件 > 旧版稳健阵列处理课件 > 其他章节相关课件 > 历年题型。
说明：当前大纲已把“空间平滑解相干”归入第五章 5.5，因此文件名为“第六章相干源高分辨处理.pdf”的旧课件不属于本章复习范围。

0. 怎么使用本文

0.1 掌握等级

【必须掌握】：能够脱离资料写出概念、流程、关键公式，并完成直接计算或简答。
【熟悉】：能够解释方法为什么有效、适用条件、局限和方法之间的联系。
【理解】：能够用自己的话讲清机理，不要求完成复杂推导。
【了解】：知道基本思想、用途和关键词，考试遇到简答题能写出得分点。
【拓展】：课件中出现，但当前复习大纲未要求深入推导；时间不足时可以略读。

0.2 第六章当前大纲

大纲条目	应达到的程度	建议掌握内容	重要度
6.1 基于校正源的内外场阵列校正	必须掌握	误差模型、内外场区别、参考通道法、校正流程、内外联合校正公式	★★★★★
6.2 无校正源阵列自校正	了解	联合估计思想、子空间思想、优缺点	★★★
6.3 高阶累积量应对噪声模型失配	熟悉	高斯过程三阶及以上累积量为零、为何可抑制未知高斯色噪声、有限样本缺点	★★★★
6.4 利用其他域信息增强稳健性	理解	循环平稳性、多普勒平移不变性、额外结构为何可降低估计难度	★★★★
6.5 常用稳健处理方式	了解	对角加载、Toeplitz 化、样本挑选、协方差矩阵重构	★★★★

来源：20260605.pdf 第 10～11 页。

0.3 时间紧时的学习路线

如果只有约 2 小时：

背第 1 节“一页必背清单”。
学第 3～4 节，重点掌握内外场校正与校正系数。
学第 6 节，记住高阶累积量抗高斯色噪声的完整答题句。
学第 8 节四种常用稳健方法。
完成第 11 节例题和第 13 节自测。

如果有半天：

按顺序学习第 2～9 节。
独立写一遍内场、外场和内外联合校正流程。
完成第 11～12 节全部题目。
用第 14 节检查表补漏洞。

0.4 资料口径与章节冲突

当前大纲把本章命名为“第六章稳健阵列信号处理”。
旧课件把相同内容命名为“第八章阵列信号稳健处理方法”，内容仍可用于交叉核验。
旧文件“第六章相干源高分辨处理”中的空间平滑内容，当前已归入第五章，不在本文重复。
大纲明确点名“对角加载、样本挑选、协方差矩阵重构”，但 2026 年第六章课件只详细展开 Toeplitz 化和扇区先验协方差构造。本文对另外三种方法只整理到考试所需的原理级深度。
历年试题形成时间早于当前章节重组，未找到直接覆盖本章全部五项要求的完整真题。因此本文练习分为“课件原题”和“按历年题型改编题”，不会把改编题冒充真题。

1. 一页必背清单

1.1 什么叫稳健

稳健阵列处理：当阵列流形、噪声模型、样本协方差或先验参数存在误差时，算法性能不会发生严重下降。

一句话理解：

理想算法假设“模型完全正确”，稳健算法承认“实际系统一定有误差”，并通过校正、结构约束、正则化或额外域信息降低误差影响。

1.2 理想模型与误差模型

理想阵列模型：

$$ \boxed{ \mathbf x(t) = \mathbf A(\boldsymbol\theta)\mathbf s(t) + \mathbf n(t)} $$

通道独立幅相误差可写成：

$$ \boxed{ \mathbf a_{\text{real}}(\theta) = \boldsymbol\Gamma \mathbf a_{\text{ideal}}(\theta)} $$

其中：

$$ \boldsymbol\Gamma = \operatorname{diag} \left( \eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_N \right), \qquad \eta_i=\rho_i e^{j\phi_i} $$

对应接收模型：

$$ \boxed{ \mathbf x(t) = \boldsymbol\Gamma \mathbf A(\boldsymbol\theta)\mathbf s(t) + \mathbf n(t)} $$

互耦误差用一般非对角矩阵 (\mathbf Z) 表示：

$$ \boxed{ \mathbf x(t) = \mathbf Z \mathbf A(\boldsymbol\theta)\mathbf s(t) + \mathbf n(t)} $$

必背区别：

(\boldsymbol\Gamma) 通常为对角矩阵，表示每个通道自己的增益和相位误差。
(\mathbf Z) 一般为非对角矩阵，表示阵元之间相互影响。

1.3 系统误差造成什么后果

常规波束形成：主瓣指向偏移、旁瓣电平升高。
超低旁瓣设计：很难达到理论旁瓣。
自适应波束形成：导向矢量失配时可能把目标当成干扰抑制，产生目标自相消。
MUSIC 等高分辨方法：理论导向矢量与真实阵列流形不一致，谱峰偏移、分辨力下降，甚至完全失效。

1.4 参考通道校正系数

设第 1 通道为参考通道，第 (i) 通道测得频响为 (S_i(j\omega))，则：

$$ \boxed{ H_i(j\omega) = \frac{S_1(j\omega)} {S_i(j\omega)}} $$

校正后：

$$ \boxed{ \widetilde S_i(j\omega) = H_i(j\omega)S_i(j\omega) = S_1(j\omega)} $$

因此，校正的本质是：

测出各通道相对于参考通道的幅相差，再乘以其逆补偿，使所有通道对齐。

1.5 外场与内场校正

对比项	外场校正	内场校正
激励路径	外部校正源经空间传播和天线进入系统	内部校正网络或耦合通道注入
课件操作	打开耦合开关，外部喇叭天线，满足远场距离	关闭耦合开关，内部 LFM 激励
能覆盖的误差	天线、通道和传播链路的综合误差较完整	主要跟踪内部电子通道及校正网络后的漂移
优点	更接近实际工作状态	快速、方便、可重复、适合日常在线校正
缺点	场地要求高，易受多径、环境和同步影响	不能完整替代外场校正

1.6 内外联合校正

首次外场校正：

$$ \boxed{ H_{1i}(j\omega) = \frac{S_{11}(j\omega)} {S_{1i}(j\omega)}} $$

首次内场校正：

$$ \boxed{ H_{2i}(j\omega) = \frac{S_{21}(j\omega)} {S_{2i}(j\omega)}} $$

每次工作前重新测得当前内场校正系数 (H_{3i})，计算漂移差分：

$$ \boxed{ D_i(j\omega) = \frac{H_{3i}(j\omega)} {H_{2i}(j\omega)}} $$

最终内外联合校正系数：

$$ \boxed{ H_{4i}(j\omega) = D_i(j\omega)H_{1i}(j\omega)} $$

一句话：

外场校正提供“完整基准”，内场校正负责“跟踪之后的通道漂移”。

1.7 无校正源自校正

两条主要思路：

联合处理法：把 DOA 和阵列误差参数一起优化。
子空间法：单信源时，协方差矩阵的主特征向量给出真实阵列流形的方向，再与理论流形比较估计误差。

1.8 高阶累积量为什么能抗未知高斯色噪声

若信号与噪声独立：

$$ \operatorname{cum}_r(s+n) = \operatorname{cum}_r(s) + \operatorname{cum}_r(n) $$

联合高斯过程满足：

$$ \boxed{ \operatorname{cum}_r(n)=0, \qquad r\ge 3} $$

所以：

$$ \boxed{ \operatorname{cum}_r(s+n) = \operatorname{cum}_r(s), \qquad r\ge3} $$

标准答题句：

高斯过程三阶及以上累积量理论上为零，因此在高阶累积量域中，未知协方差结构的高斯色噪声项被消除，可减小噪声模型失配对阵列处理的影响。

必须同时写出的缺点：

有限快拍下高阶累积量估计方差较大，所需样本更多；若目标信号本身也是高斯过程，其高阶累积量也可能为零。

1.9 其他域信息为什么有用

循环平稳性：

不同信号往往具有不同循环频率，可在循环频率域把目标、干扰和噪声分离。

多普勒平移不变性：

$$ s_i(t_m)=s_i e^{j\omega_i t_m} $$

利用相干脉冲串中的指数结构，可构造时间导向矢量：

$$ \boxed{ \mathbf b(\omega_i) = \begin{bmatrix} 1& e^{j\omega_iT}& \cdots& e^{j\omega_i(M-1)T} \end{bmatrix}^{T}} $$

把空间与时间信息联合后，等效导向矢量为：

$$ \boxed{ \mathbf b(\omega_i) \otimes \mathbf a(\theta_i)} $$

额外结构能减少未知参数、分离空间上难以区分的信号，并降低估计方差下界。

1.10 四种常用稳健方法

方法	最重要公式或关键词	核心作用
对角加载	(\widehat{\mathbf R}_{DL}=\widehat{\mathbf R}+\delta\mathbf I)	改善求逆条件，减弱小特征值误差影响
Toeplitz 化	同一条对角线取平均	利用理想 ULA 协方差结构抑制随机误差
样本挑选	选同分布、无目标污染、无异常的训练样本	提高样本协方差质量
协方差矩阵重构	按角度扇区积分重建期望或干扰噪声协方差	减少目标污染和有限样本误差

2. 零基础先建立总图景

2.1 为什么阵列算法会怕“模型不准”

阵列算法经常依靠导向矢量：

$$ \mathbf a(\theta) = \begin{bmatrix} 1& e^{-jkd\sin\theta}& \cdots& e^{-j(N-1)kd\sin\theta} \end{bmatrix}^{T} $$

这个公式隐含了很多理想条件：

阵元位置完全准确；
每个通道增益相同；
每个通道相位延迟准确；
阵元之间没有互耦；
载频、时钟和同步没有误差；
噪声模型正确；
样本协方差接近理论协方差。

实际系统中任何一项不满足，真实导向矢量就可能变成：

$$ \mathbf a_{\text{real}}(\theta) \neq \mathbf a_{\text{ideal}}(\theta) $$

而波束形成、MUSIC、CAPON 等方法都在使用理想导向矢量，因此会发生失配。

2.2 本章的四条解决路线

先测再补偿：用校正源测出通道误差，再做逆补偿。
从接收数据自己估计：不使用专门校正源，联合估计 DOA 与误差。
换到噪声消失或容易分离的域：高阶累积量域、循环频率域、多普勒域。
让算法不要过度相信不可靠数据：对角加载、结构强制、样本挑选、协方差重构。

2.3 校正与稳健处理的区别

校正：尽量估计并消除误差，使系统接近理想模型。
稳健处理：承认误差不可能完全消除，使算法对剩余误差不敏感。

二者不是互斥关系。

工程上通常是：

$$ \boxed{ \text{硬件/通道校正} + \text{稳健算法} \longrightarrow \text{可靠阵列处理}} $$

3. 系统误差模型及影响

学习程度：必须掌握
来源：2026 第六章 A/C 课件第 1～4 页；旧版稳健课件第 1～4 页。

3.1 常见系统误差

课件列出的误差包括：

阵元位置误差；
阵元互耦；
通道幅度误差；
通道相位误差；
通道频率响应误差；
随角度、频率和时间变化的误差。

3.2 幅相误差矩阵

第 (i) 个通道的复误差写成：

$$ \eta_i=\rho_i e^{j\phi_i} $$

其中：

(\rho_i)：幅度增益误差；
(\phi_i)：相位误差。

把所有通道组成：

$$ \boldsymbol\Gamma = \operatorname{diag} (\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_N) $$

于是：

$$ \mathbf A_{\text{real}} = \boldsymbol\Gamma \mathbf A_{\text{ideal}} $$

3.3 互耦误差

互耦意味着一个阵元上的电流或接收信号会影响其他阵元。

因此不能只用每个通道自己的独立系数描述，而要使用一般矩阵：

$$ \mathbf Z= \begin{bmatrix} z_{11}&z_{12}&\cdots&z_{1N}\\ z_{21}&z_{22}&\cdots&z_{2N}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ z_{N1}&z_{N2}&\cdots&z_{NN} \end{bmatrix} $$

非对角元素 (z_{ij}) 表示阵元 (j) 对阵元 (i) 的耦合影响。

3.4 对波束形成的影响

理论方向图：

$$ B_{\text{ideal}}(\theta) = \mathbf w^H\mathbf a_{\text{ideal}}(\theta) $$

实际方向图：

$$ B_{\text{real}}(\theta) = \mathbf w^H\mathbf a_{\text{real}}(\theta) $$

两者不一致会导致：

主瓣不能准确指向目标；
零陷不能准确对准干扰；
旁瓣抬高；
超低旁瓣设计被破坏。

3.5 为什么自适应波束形成仍需要校正

课件原思考题：

阵列采用自适应波束形成后，是否无需阵列校正？

答案：

$$ \boxed{\text{仍然需要校正}} $$

原因：

自适应算法只能根据数据调整权值，不等于知道真实阵列流形。
若期望方向的理论导向矢量与真实导向矢量失配，约束
[
\mathbf w^H\mathbf a_{\text{ideal}}(\theta_0)=1
]
并不能保证
[
\mathbf w^H\mathbf a_{\text{real}}(\theta_0)=1
]
目标信号可能泄漏到自适应训练数据中，被算法当成干扰压制。
模型失配严重时会产生目标自相消。

考试简答模板：

自适应波束形成对部分通道误差具有一定调节能力，但不能替代阵列校正。因为自适应约束仍依赖期望信号导向矢量；当真实阵列流形与理论流形失配时，无失真约束不能在真实目标方向成立，可能造成主瓣偏移、增益下降甚至目标自相消。因此仍需通过阵列校正减小流形误差，并配合稳健算法处理剩余误差。

3.6 对 MUSIC 的影响

理想情况下：

$$ \mathbf U_n^H \mathbf a_{\text{real}}(\theta_p) = \mathbf 0 $$

但实际搜索时往往使用：

$$ \mathbf a_{\text{ideal}}(\theta) $$

若：

$$ \mathbf a_{\text{ideal}}(\theta_p) \neq \mathbf a_{\text{real}}(\theta_p) $$

则：

$$ \mathbf U_n^H \mathbf a_{\text{ideal}}(\theta_p) \neq \mathbf 0 $$

MUSIC 伪谱峰会降低或偏移：

$$ P_{\text{MUSIC}}(\theta) = \frac{1} {\mathbf a^H(\theta) \mathbf U_n\mathbf U_n^H \mathbf a(\theta)} $$

结论：

高分辨方法通常比常规波束形成更依赖精确阵列流形，因此对校正误差更敏感。

4. 基于校正源的内外场阵列校正

学习程度：必须掌握
来源：2026 第六章 A/C 课件第 4～9 页；B 课件第 2、4～37 页。

4.1 基本思想

校正源发射一个参数已知或可重复的信号。

理想情况下，各通道接收结果应完全一致；实际差异主要来自通道误差。

以第 1 通道为参考：

$$ S_i(j\omega) = G_i(j\omega)S_{\text{cal}}(j\omega) $$

$$ S_1(j\omega) = G_1(j\omega)S_{\text{cal}}(j\omega) $$

二者相除：

$$ \frac{S_1(j\omega)}{S_i(j\omega)} = \frac{G_1(j\omega)}{G_i(j\omega)} $$

未知校正源频谱 (S_{\text{cal}}) 被消去。

因此定义：

$$ \boxed{ H_i(j\omega) = \frac{S_1(j\omega)} {S_i(j\omega)}} $$

4.2 幅度和相位形式

设：

$$ S_i=A_i e^{j\varphi_i} $$

则：

$$ H_i = \frac{A_1}{A_i} e^{j(\varphi_1-\varphi_i)} $$

所以：

幅度补偿系数为 (A_1/A_i)；
相位补偿量为 (\varphi_1-\varphi_i)。

4.3 点频校正

点频校正使用单音信号。

课件案例流程：

标校塔喇叭天线发射 L 频段单音。
阵列记录各通道复数采样。
对数据做 FFT。
找出单音频谱峰值。
计算各阵元峰值幅度和相对于参考阵元的相位差。
统计信噪比、噪底、相位稳定性和长期漂移。
由通道差异形成补偿系数。

考试只需掌握：

单音校正通过 FFT 提取校正频点处各通道复响应，以参考通道为基准计算幅相误差并进行逆补偿。

4.4 外场校正原理

外场校正使用阵列外部的校正源。

课件场景：

外部 X 波段喇叭天线；
校正源与阵列相位中心距离满足远场条件；
打开耦合开关；
依次发射或接收 LFM 信号；
以第 1 通道为参考估计其余通道误差。

外场校正能够把更多实际误差纳入测量：

阵元与天线误差；
收发通道误差；
部分互耦影响；
馈线与射频链路误差；
实际外部传播路径造成的综合影响。

外场校正局限：

需要较大场地和远场距离；
容易受到多径、环境变化和外部干扰影响；
校正节点与雷达之间需要较好的时间频率同步；
操作成本高，不适合每次开机都完整实施。

4.5 内场校正原理

内场校正通过内部校正网络或耦合通道注入信号。

课件场景：

关闭耦合开关；
经内部链路依次发射 LFM；
记录校正通道或各接收通道输出；
计算相对于参考通道的幅相误差；
在发射端或接收端补偿。

内场校正优点：

不依赖大型外部场地；
可快速、重复实施；
容易自动化；
适合每次开机前跟踪温度和器件老化造成的通道漂移。

内场校正局限：

内部注入路径不一定经过完整天线口径和空间传播链路，因此不能保证覆盖所有外场误差。

4.6 内外场不是二选一

推荐理解：

系统安装或大修后做一次外场校正，得到完整基准。
同时保存该状态下的内场校正结果。
以后每次工作前只做快速内场校正。
比较“当前内场”与“基准内场”，估计系统漂移。
用漂移量更新原外场系数。

这就是内外联合校正。

4.7 内外联合校正公式

外场基准：

$$ H_{1i}(j\omega) = \frac{S_{11}(j\omega)} {S_{1i}(j\omega)} $$

同一初始状态下的内场基准：

$$ H_{2i}(j\omega) = \frac{S_{21}(j\omega)} {S_{2i}(j\omega)} $$

每次工作前重新测量当前内场系数 (H_{3i})。

漂移差分系数：

$$ D_i(j\omega) = \frac{H_{3i}(j\omega)} {H_{2i}(j\omega)} $$

最终系数：

$$ \boxed{ H_{4i}(j\omega) = \frac{H_{3i}(j\omega)} {H_{2i}(j\omega)} H_{1i}(j\omega)} $$

记忆法：

$$ \boxed{ \text{当前联合系数} = \text{外场基准} \times \frac{\text{当前内场}} {\text{基准内场}}} $$

4.8 发射校正与接收校正

发射校正

目的：

使不同发射通道经过天线辐射后的幅相关系符合设计要求。

常用步骤：

各通道依次发射可分辨的校正信号。
校正接收通道记录信号。
选参考发射通道。
估计其他发射通道相对参考通道的频响。
在发射端预补偿，或在接收校正数据处理端补偿后形成标定结果。
重新测量验证残差。

接收校正

目的：

使同一个校正信号经过不同接收通道后具有一致的幅相响应。

常用步骤：

保持校正发射激励不变。
各接收通道同时或依次记录信号。
选参考接收通道。
计算 (H_i=S_1/S_i)。
用 (H_i) 补偿下一次接收数据。

4.9 补偿放在发射端还是接收端

2026 B 课件实验结论：

场景	补偿位置	幅度残差	相位残差
发射外校正	发射端	约 (\pm3\ \mathrm{dB})	约 (\pm20^\circ)
发射外校正	接收端	约 (\pm0.3\ \mathrm{dB})	约 (\pm5^\circ)
发射内校正	发射端	约 (\pm2\sim3\ \mathrm{dB})	约 (\pm15^\circ)
发射内校正	接收端	约 (\pm0.4\sim0.5\ \mathrm{dB})	约 (\pm3^\circ\sim\pm4^\circ)
接收内/外校正	接收端	小于约 (\pm0.5\ \mathrm{dB})	小于约 (\pm5^\circ)

注意：

这些数值是课件具体实验系统的结果，不是所有阵列必须达到的通用理论指标。

课件给出的解释：

发射端预补偿后，多通道发射波形发生变化；
耦合和多径环境也可能随之改变；
因而最终外部测得的幅相误差仍可能较大；
在接收端进行标定数据补偿时，不改变原发射波形，实验残差较小。

考试若问结论：

在该 MIMO 阵列雷达实验中，发射外场校正建议采用接收端补偿发射不一致；接收内外场校正均获得了较好的幅相一致性。

4.10 外场与内场校正简答模板

外场校正利用阵列外部、通常位于远场的校正源，经真实空间传播和天线收发链路测量各通道相对于参考通道的幅相误差，覆盖误差较完整，但对场地、环境和同步要求较高。内场校正通过内部耦合或校正网络注入已知信号，操作快速、可重复，适合跟踪电子通道随时间产生的漂移，但通常不能完整反映天线口径和外部传播链路误差。工程上可先用外场校正建立基准，再用内场校正跟踪漂移并更新外场系数。

5. 无校正源阵列自校正

学习程度：了解
来源：2026 第六章 A/C 课件第 4 页；旧版稳健课件第 4 页。

5.1 为什么叫“无校正源”

不布设已知位置、已知波形的专用标校源，而是直接利用正常接收数据估计：

信号 DOA；
通道幅相误差；
阵元位置误差；
互耦参数；
真实阵列流形。

5.2 联合处理法

把未知参数统一写成：

$$ \boldsymbol\xi = \begin{bmatrix} \boldsymbol\theta^T& \boldsymbol\varepsilon^T \end{bmatrix}^{T} $$

其中：

(\boldsymbol\theta)：DOA 参数；
(\boldsymbol\varepsilon)：阵列误差参数。

构造代价函数：

$$ \boxed{ \min_{\boldsymbol\theta,\boldsymbol\varepsilon} J(\boldsymbol\theta,\boldsymbol\varepsilon)} $$

通过交替或联合优化求解。

概念流程：

先假设阵列无误差，粗估 DOA。
固定 DOA，估计阵列误差。
用新误差模型更新阵列流形。
再估计 DOA。
重复直到收敛。

5.3 子空间处理法

单信源模型：

$$ \mathbf x(t) = \mathbf a_{\text{real}}(\theta_0)s(t) + \mathbf n(t) $$

白噪声下：

$$ \mathbf R_x = \sigma_s^2 \mathbf a_{\text{real}} \mathbf a_{\text{real}}^H + \sigma_n^2\mathbf I $$

信号部分秩为 1，因此协方差矩阵有一个大特征值，其主特征向量满足：

$$ \boxed{ \mathbf u_1 \propto \mathbf a_{\text{real}}(\theta_0)} $$

如果 (\theta_0) 已知或可以估计，就能比较：

$$ \mathbf u_1 \quad\text{与}\quad \mathbf a_{\text{ideal}}(\theta_0) $$

从而估计通道误差。

注意：

特征向量只确定到一个任意复比例因子，因此通常要选参考阵元或规定首元素为 1。

5.4 优缺点

优点：

不需要专用校正塔或校正源；
可利用工作数据在线估计；
适合无法布设外场源的场景。

缺点：

DOA 与阵列误差可能相互混淆；
需要足够的信源、快拍和可辨识条件；
对初值和模型假设敏感；
可能收敛到局部最优；
算法复杂度通常高于有源校正。

5.5 考试答题深度

当前大纲只要求“了解”，建议能写出：

不依赖专用校正源；
利用正常接收数据；
联合估计 DOA 与阵列误差，或利用信号子空间估计真实阵列流形；
优点是节省校正条件，缺点是存在参数耦合和可辨识性问题。

6. 高阶累积量与未知高斯色噪声

学习程度：熟悉原因和结论
来源：2026 第六章 A/C 课件第 11～18 页；旧版稳健课件第 6～13 页。

6.1 为什么二阶方法会受色噪声影响

普通协方差：

$$ \mathbf R_x = \mathbf A\mathbf R_s\mathbf A^H + \mathbf R_n $$

白噪声时：

$$ \mathbf R_n=\sigma_n^2\mathbf I $$

噪声只把所有特征值整体抬高，不改变信号子空间方向。

未知高斯色噪声时：

$$ \mathbf R_n\neq\sigma_n^2\mathbf I $$

噪声自身也可能具有不同方向的大特征值，导致：

信号子空间与噪声子空间难以分开；
MUSIC 的噪声子空间估计错误；
使用错误噪声协方差模型时性能下降。

6.2 累积量的关键性质

多线性

$$ \operatorname{cum} (a_1x_1,\ldots,a_rx_r) = \left(\prod_{i=1}^{r}a_i\right) \operatorname{cum}(x_1,\ldots,x_r) $$

独立变量的可加性

若 (\mathbf x) 与 (\mathbf y) 统计独立：

$$ \operatorname{cum}_r(\mathbf x+\mathbf y) = \operatorname{cum}_r(\mathbf x) + \operatorname{cum}_r(\mathbf y) $$

高斯过程高阶累积量为零

$$ \boxed{ \operatorname{cum}_r(\text{Gaussian})=0, \quad r>2} $$

这是本节最重要的结论。

6.3 四阶累积量

对零均值实变量：

$$ \begin{aligned} \operatorname{cum}(x_1,x_2,x_3,x_4) =\;& E[x_1x_2x_3x_4]\\ &-E[x_1x_2]E[x_3x_4]\\ &-E[x_1x_3]E[x_2x_4]\\ &-E[x_1x_4]E[x_2x_3] \end{aligned} $$

复信号的具体定义会根据共轭位置改变，但“减去所有二阶配对项”的思想不变。

6.4 为什么能消除高斯色噪声

设：

$$ \mathbf x=\mathbf A\mathbf s+\mathbf n $$

且 (\mathbf s) 与 (\mathbf n) 独立。

在四阶累积量域：

$$ \mathbf C_{4,x} = \mathbf C_{4,As} + \mathbf C_{4,n} $$

若 (\mathbf n) 是高斯色噪声：

$$ \mathbf C_{4,n}=\mathbf 0 $$

所以：

$$ \boxed{ \mathbf C_{4,x} = \mathbf C_{4,As}} $$

注意：

噪声可以是“色”的，即其二阶协方差并不等于 (\sigma^2\mathbf I)。只要它是联合高斯过程，理论上的三阶及以上累积量仍为零。

6.5 四阶累积量矩阵与 MUSIC

对相互独立的非高斯信源，课件给出：

$$ \boxed{ \mathbf C_4 = \mathbf A \boldsymbol\Sigma_r \mathbf A^H} $$

其中：

$$ \boldsymbol\Sigma_r = \operatorname{diag} (r_1,r_2,\ldots,r_P) $$

(r_i) 为第 (i) 个信源的四阶累积量。

于是可以对 (\mathbf C_4) 做特征分解，再使用类似 MUSIC 的子空间方法估计 DOA。

6.6 高阶累积量的第二个作用

课件还指出：

合理构造高阶统计量可以形成扩展的虚拟阵列，从而增大虚拟孔径。

当前大纲重点是“抑制未知高斯色噪声”，虚拟孔径只需知道，不要求复杂推导。

6.7 局限

必须掌握：

有限样本下高阶累积量估计方差比二阶统计量大。
需要更多快拍才能稳定估计。
计算量更大。
对异常值可能更敏感。
若有用信号本身是高斯过程，其三阶及以上累积量也为零。
“理论上消除高斯噪声”不代表有限样本估计中噪声影响绝对为零。

6.8 高频简答模板

题目：

为什么高阶累积量可以缓解未知高斯色噪声造成的模型失配？

答案：

普通二阶阵列处理依赖噪声协方差模型。高斯色噪声的协方差矩阵一般不是白噪声形式，若其统计参数未知，会造成信号/噪声子空间估计失配。累积量对相互独立随机过程具有可加性，而联合高斯过程三阶及以上累积量理论上等于零。因此在三阶或四阶累积量域中，高斯色噪声项被消除，只保留非高斯信号的高阶统计结构，从而提高阵列处理对未知噪声协方差的稳健性。但有限快拍下高阶累积量估计方差较大，需要更多样本。

7. 利用其他域信息提高稳健性

学习程度：理解机理
来源：2026 第六章 A/C 课件第 19～24 页；旧版稳健课件第 14～21 页。

7.1 总原则

只使用空间阵列流形时，算法只能依靠：

$$ \mathbf a(\theta) $$

如果再利用时间、频率、循环频率或多普勒结构，就能得到额外特征：

$$ \boxed{ \text{空间信息} + \text{其他域信息} \longrightarrow \text{更多约束、更强可分辨性}} $$

7.2 循环平稳信号

平稳信号：

统计特性不随绝对时间变化。

循环平稳信号：

均值或相关函数随时间按一个或多个周期变化。

很多调制信号具有循环平稳性，例如：

载波调制；
符号周期；
脉冲重复周期；
循环前缀等人为周期结构。

7.3 循环频率域分离

若目标、干扰和噪声具有不同循环频率：

在目标循环频率处，目标循环相关显著；
不具有该循环频率的干扰被抑制；
平稳噪声在非零循环频率处通常没有对应循环相关。

因此可以先在循环频率域选择目标，再做波束形成或 DOA 估计。

标准答题句：

基于循环平稳性的阵列处理利用不同信号源具有不同循环频率的特点，在循环频率域实现信号自动分离，并可同时抑制不具有目标循环频率的噪声和干扰。

7.4 多普勒指数结构

对于单个稳定多普勒频率：

$$ s_i(t)=s_i e^{j\omega_i t} $$

均匀慢时间采样：

$$ t_m=(m-1)T, \qquad m=1,\ldots,M $$

则：

$$ s_i(t_m) = s_i e^{j\omega_i(m-1)T} $$

定义多普勒导向矢量：

$$ \mathbf b(\omega_i) = \begin{bmatrix} 1\\ e^{j\omega_iT}\\ \vdots\\ e^{j\omega_i(M-1)T} \end{bmatrix} $$

7.5 空时联合模型

把 (M) 个快拍堆叠：

$$ \mathbf x_{NM} = \begin{bmatrix} \mathbf x(t_1)\\ \mathbf x(t_2)\\ \vdots\\ \mathbf x(t_M) \end{bmatrix} $$

可写成：

$$ \boxed{ \mathbf x_{NM} = \sum_{i=1}^{P} s_i \left[ \mathbf b(\omega_i) \otimes \mathbf a(\theta_i) \right] + \mathbf n_{NM}} $$

这相当于每个信源同时具有：

空间导向矢量 (\mathbf a(\theta_i))；
时间导向矢量 (\mathbf b(\omega_i))。

7.6 为什么估计会更稳

传统方法可能把每个快拍的复幅度都视为独立未知量。

利用多普勒指数结构后，一串快拍由少量参数描述：

初始复幅度；
多普勒频率。

未知参数减少，模型约束增加，因此：

参数估计方差降低；
CRB 下界可以变小；
空间角度接近但多普勒不同的信号仍可分离；
可实现 Doppler-DOA 联合估计。

7.7 盲波束形成补充

课件给出的多普勒结构波束形成目标：

$$ \min_{\mathbf w} \sum_{m=1}^{M} \left| \mathbf w^H\mathbf x(t_m) - e^{j\omega_PT(m-1)} \right|^2 $$

解的形式：

$$ \boxed{ \mathbf w_{\text{opt}} = \mathbf R^{-1} \mathbf r(\omega_P)} $$

其中：

$$ \mathbf R = \frac1M \sum_{m=1}^{M} \mathbf x(t_m)\mathbf x^H(t_m) $$

$$ \mathbf r(\omega_P) = \frac1M \sum_{m=1}^{M} \mathbf x(t_m) e^{-j\omega_PT(m-1)} $$

这部分属于理解和拓展，不是当前大纲要求的重点推导。

7.8 循环平稳与多普勒比较

对比项	循环平稳性	多普勒平移不变性
使用的信息	周期统计特性	相干脉冲间的指数相位变化
区分依据	循环频率	多普勒频率
主要效果	在循环频率域分离信号与噪声	空时联合、减少未知参数
常见应用	通信调制信号、周期脉冲信号	雷达运动目标

8. 常用稳健处理方法

学习程度：了解方法思想，能完成简答或识别题
来源：当前大纲第 6.5；A/C 课件第 10 页；第三章课件第 50、58～59 页。

8.1 对角加载

8.1.1 公式

样本协方差：

$$ \widehat{\mathbf R} = \frac1K \sum_{k=1}^{K} \mathbf x(k)\mathbf x^H(k) $$

对角加载：

$$ \boxed{ \widehat{\mathbf R}_{DL} = \widehat{\mathbf R} + \delta\mathbf I, \qquad \delta>0} $$

8.1.2 特征值解释

若：

$$ \widehat{\mathbf R} = \mathbf U \operatorname{diag} (\lambda_1,\ldots,\lambda_N) \mathbf U^H $$

则：

$$ \widehat{\mathbf R}_{DL} = \mathbf U \operatorname{diag} (\lambda_1+\delta,\ldots,\lambda_N+\delta) \mathbf U^H $$

所以每个特征值都增加 (\delta)。

8.1.3 为什么更稳健

防止小特征值接近零造成求逆爆炸；
改善矩阵条件数；
减弱有限快拍下噪声特征值和特征向量估计误差的影响；
减少波束形成权值过大、过度拟合训练样本；
提高对导向矢量失配和协方差估计误差的容忍度。

8.1.4 加载量的权衡

(\delta) 太小：稳健性提升不明显。
(\delta) 太大：
[
\widehat{\mathbf R}_{DL}^{-1}
\approx
\frac1\delta\mathbf I
]
权值逐渐接近常规匹配波束形成，干扰抑制和高分辨能力下降。

标准答题句：

对角加载通过给样本协方差矩阵所有特征值增加一个正常数，提高矩阵可逆性和条件数，减弱小特征值估计误差对协方差求逆的放大作用，从而提高有限快拍和模型失配情况下的稳健性。

8.2 利用 Toeplitz 结构

8.2.1 适用条件

对理想均匀线阵，在独立信源和空间白噪声等条件下：

$$ R_{m,n} = r_{m-n} $$

协方差矩阵沿每条对角线元素相同，即为 Hermitian Toeplitz 矩阵。

8.2.2 为什么实际矩阵不再严格 Toeplitz

有限样本误差；
阵元位置误差；
通道幅相误差；
互耦；
非均匀阵列；
噪声空间非平稳。

8.2.3 对角线平均

对第 (\ell) 条上对角线：

$$ \boxed{ \bar r_\ell = \frac1{N-\ell} \sum_{i=1}^{N-\ell} \widehat R_{i,i+\ell}, \qquad \ell=0,\ldots,N-1} $$

再令：

$$ \bar r_{-\ell} = \bar r_\ell^* $$

构造：

$$ \boxed{ [\widehat{\mathbf R}_{T}]_{m,n} = \bar r_{n-m}} $$

这就是 Toeplitz 化。

8.2.4 为什么有效

同一条对角线理论上估计的是同一个相关量。

对角线平均相当于多次估计取平均，可降低随机误差，并把估计结果投影回理想结构集合。

8.2.5 不能乱用

若真实阵列本来不是 ULA，或噪声/信号不满足相应空间平稳条件，强制 Toeplitz 化可能引入偏差。

此外，简单的对角线平均不一定保证重构矩阵严格半正定；工程中可再配合半正定投影或对角加载。当前大纲只要求了解 Toeplitz 性，不要求掌握这一步。

8.3 样本挑选

来源说明：当前大纲明确列出“样本挑选”，但第六章课件没有给出固定算法或公式，因此本节按考试所需整理其通用原理。

8.3.1 基本思想

样本协方差的质量取决于训练样本是否来自同一统计环境。

应优先选择：

与当前处理单元同分布的样本；
不含期望目标的样本；
干扰环境相近的样本；
无脉冲异常、饱和和硬件故障的样本；
时间上不过度陈旧的样本。

应剔除：

目标污染样本；
强异常点；
明显非平稳区间；
与当前噪声/杂波环境不同的训练单元；
故障通道数据。

8.3.2 为什么有效

如果训练样本中含有目标：

$$ \widehat{\mathbf R} = \widehat{\mathbf R}_{i+n} + \widehat{\mathbf R}_{s} $$

自适应权值可能把目标分量也压制，发生自相消。

样本挑选通过提高训练数据的纯净性和同质性，使：

$$ \widehat{\mathbf R} \approx \mathbf R_{i+n} $$

8.3.3 考试答题句

样本挑选是从原始快拍或训练单元中选择与当前环境同分布、无目标污染且无异常值的数据来估计协方差矩阵，剔除非平稳、故障和强异常样本，以减小有限样本误差和目标自相消。

8.4 协方差矩阵重构

来源说明：A/C 课件第 10 页给出扇区协方差积分；当前大纲进一步点名“协方差矩阵重构”。以下重构干扰加噪声协方差的写法是对该原理的考试级展开。

8.4.1 扇区先验

若已知信号大致位于：

$$ \theta\in[\theta_1,\theta_2] $$

可构造该角度扇区的理想协方差：

$$ \boxed{ \mathbf R_{\text{sector}} = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \lambda(\theta) \mathbf a(\theta)\mathbf a^H(\theta) \mathrm d\theta} $$

其中 (\lambda(\theta)) 表示角度功率分布。

8.4.2 重构干扰加噪声协方差

若已估计空间谱，并知道目标扇区 (\Theta_s)，可只对干扰区域积分：

$$ \boxed{ \widehat{\mathbf R}_{i+n} = \int_{\Theta_{\text{int}}} \widehat P(\theta) \mathbf a(\theta)\mathbf a^H(\theta) \mathrm d\theta + \widehat\sigma_n^2\mathbf I} $$

其中：

$$ \Theta_{\text{int}} \cap \Theta_s = \varnothing $$

然后使用：

$$ \mathbf w \propto \widehat{\mathbf R}_{i+n}^{-1} \mathbf a(\theta_0) $$

8.4.3 为什么更稳健

避免目标分量进入干扰协方差；
利用角度先验减少有限样本误差；
可抑制异常快拍；
可把估计结果限制在物理可解释的阵列流形结构内。

8.4.4 局限

需要目标与干扰扇区先验；
空间谱估计错误会传入重构结果；
导向矢量模型本身严重失配时，重构仍会有误差；
数值积分和谱估计会增加计算量。

8.5 四种方法的记忆对比

方法	主要针对什么问题	使用了什么先验
对角加载	求逆病态、小特征值不可靠	正则化思想
Toeplitz 化	协方差结构被样本误差破坏	理想 ULA 结构
样本挑选	训练样本污染、异常和非平稳	样本质量判断
协方差重构	目标污染、样本少、干扰结构估计不准	空间谱与角度扇区

9. 方法选择题怎么判断

9.1 题目出现“小特征值、病态、求逆不稳定”

优先回答：

$$ \boxed{\text{对角加载}} $$

9.2 题目出现“理想 ULA、协方差每条对角线相同”

优先回答：

$$ \boxed{\text{Toeplitz 化}} $$

9.3 题目出现“训练样本含目标、异常值或环境不一致”

优先回答：

$$ \boxed{\text{样本挑选}} $$

9.4 题目出现“已知目标/干扰大致扇区、需要排除目标污染”

优先回答：

$$ \boxed{\text{协方差矩阵重构}} $$

9.5 题目出现“未知协方差的高斯色噪声”

优先回答：

$$ \boxed{\text{高阶累积量}} $$

9.6 题目出现“信号具有不同调制周期或循环频率”

优先回答：

$$ \boxed{\text{循环平稳处理}} $$

9.7 题目出现“相干脉冲串、运动目标、脉间固定相位增量”

优先回答：

$$ \boxed{\text{多普勒平移不变性/空时联合处理}} $$

10. MATLAB 考试与验证模板

当前大纲未明确要求第六章程序填空，但以下模板可帮助理解。

10.1 参考通道幅相校正

% S: N x F，各通道在 F 个频点上的复频响
% 第 1 通道作为参考
H = S(1,:) ./ S;      % 隐式扩展，N x F
S_corr = H .* S;

% 理论上每一行均与第 1 通道一致
amp_err_dB = 20*log10(abs(S_corr ./ S_corr(1,:)));
phase_err_deg = angle(S_corr ./ S_corr(1,:))*180/pi;

单频点时：

H = S(1) ./ S;
S_corr = H .* S;

10.2 对角加载

Rhat = X*X'/size(X,2);
delta = 1e-2 * trace(Rhat)/size(Rhat,1);
Rdl = Rhat + delta*eye(size(Rhat));

常用相对加载形式：

$$ \delta = \alpha\frac{\operatorname{tr} (\widehat{\mathbf R})}{N} $$

其中 (\alpha>0) 为经验系数。

10.3 Toeplitz 化

N = size(Rhat,1);
firstRow = zeros(1,N);

for k = 0:N-1
    firstRow(k+1) = mean(diag(Rhat,k));
end

firstCol = conj(firstRow.');
firstCol(1) = real(firstCol(1));
Rtoep = toeplitz(firstCol,firstRow);
Rtoep = (Rtoep + Rtoep')/2;

10.4 扇区协方差离散近似

连续积分：

$$ \mathbf R_{\text{sector}} = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \lambda(\theta) \mathbf a(\theta)\mathbf a^H(\theta) \mathrm d\theta $$

离散实现：

thetaGrid = theta1:dTheta:theta2;
Rsector = zeros(N,N);

for k = 1:length(thetaGrid)
    a = steering_vector(thetaGrid(k));
    Rsector = Rsector + P(k)*(a*a')*dTheta;
end

11. 典型例题

例 1：计算单频点校正系数

第 1 通道：

$$ S_1=2e^{j20^\circ} $$

第 2 通道：

$$ S_2=1.6e^{-j10^\circ} $$

求第 2 通道校正系数。

解：

$$ \begin{aligned} H_2 &= \frac{S_1}{S_2}\\ &= \frac{2}{1.6} e^{j[20^\circ-(-10^\circ)]}\\ &= 1.25e^{j30^\circ} \end{aligned} $$

校正后：

$$ H_2S_2 = 1.25e^{j30^\circ} \cdot 1.6e^{-j10^\circ} = 2e^{j20^\circ} = S_1 $$

答案：

$$ \boxed{ H_2=1.25e^{j30^\circ}} $$

例 2：内外联合校正

某通道：

$$ H_{1i}=1.10e^{j8^\circ} $$

初始内场：

$$ H_{2i}=0.95e^{-j2^\circ} $$

当前内场：

$$ H_{3i}=1.00e^{j4^\circ} $$

求当前联合校正系数。

先求：

$$ D_i = \frac{1.00e^{j4^\circ}} {0.95e^{-j2^\circ}} = 1.0526e^{j6^\circ} $$

再求：

$$ \begin{aligned} H_{4i} &= D_iH_{1i}\\ &= 1.0526e^{j6^\circ} \cdot 1.10e^{j8^\circ}\\ &= 1.1579e^{j14^\circ} \end{aligned} $$

答案：

$$ \boxed{ H_{4i}\approx1.158e^{j14^\circ}} $$

例 3：对角加载后的特征值

若：

$$ \lambda(\widehat{\mathbf R}) = \{10,\ 2,\ 0.02,\ 0.001\} $$

取：

$$ \delta=0.1 $$

则：

$$ \lambda(\widehat{\mathbf R}_{DL}) = \{10.1,\ 2.1,\ 0.12,\ 0.101\} $$

最小特征值从 (0.001) 增大到 (0.101)，求逆时不再产生极大的 (1/0.001) 项。

例 4：Toeplitz 化

给定：

$$ \widehat{\mathbf R} = \begin{bmatrix} 4&1+j&0.4\\ 1-j&5&0.8+1.2j\\ 0.4&0.8-1.2j&3 \end{bmatrix} $$

主对角线平均：

$$ \bar r_0 = \frac{4+5+3}{3} = 4 $$

第一条上对角线：

$$ \bar r_1 = \frac{(1+j)+(0.8+1.2j)}{2} = 0.9+1.1j $$

第二条上对角线：

$$ \bar r_2=0.4 $$

Toeplitz 化结果：

$$ \boxed{ \widehat{\mathbf R}_T = \begin{bmatrix} 4&0.9+1.1j&0.4\\ 0.9-1.1j&4&0.9+1.1j\\ 0.4&0.9-1.1j&4 \end{bmatrix}} $$

例 5：高斯色噪声为什么消失

设：

$$ x=s+n $$

(s) 与 (n) 独立，(n) 是零均值高斯色噪声。

四阶累积量：

$$ \operatorname{cum}_4(x) = \operatorname{cum}_4(s) + \operatorname{cum}_4(n) $$

高斯过程：

$$ \operatorname{cum}_4(n)=0 $$

所以：

$$ \boxed{ \operatorname{cum}_4(x) = \operatorname{cum}_4(s)} $$

“色”只表示二阶协方差不是单位阵，并不改变高斯高阶累积量为零的性质。

例 6：多普勒时间导向矢量

若：

$$ M=4, \qquad \omega T=\frac{\pi}{2} $$

则：

$$ \mathbf b(\omega) = \begin{bmatrix} 1\\ e^{j\pi/2}\\ e^{j\pi}\\ e^{j3\pi/2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ j\\ -1\\ -j \end{bmatrix} $$

它描述同一运动目标在 4 个相干脉冲之间的固定相位递进。

12. 考试型练习

12.1 填空题

通道独立幅相误差常用对角矩阵 表示；阵元互耦常用一般非对角矩阵 表示。
以第 1 通道为参考，第 (i) 通道的校正系数为 ______。
外场基准、初始内场和当前内场系数分别为 (H_{1i})、(H_{2i})、(H_{3i})，当前联合校正系数为 ______。
联合高斯过程阶数大于 2 的高阶累积量等于 ______。
循环平稳方法利用不同信号源具有不同的 __ 实现分离。
对角加载后的协方差矩阵为 ______。
理想 ULA 在独立信源和白噪声等条件下，协方差矩阵具有 __ 结构。
多普勒时间导向矢量第 (m) 个元素可写成 ______。

12.2 判断题

自适应波束形成可以完全替代阵列校正。
内场校正一定能覆盖天线口径和外部传播链路的全部误差。
高斯色噪声的四阶累积量理论上为零。
对角加载量越大，阵列自适应干扰抑制能力一定越强。
任意阵列的协方差矩阵都应强制 Toeplitz 化。
有限样本下高阶累积量的估计通常比二阶统计量更稳定。
样本挑选可以用于避免目标污染训练协方差。
协方差重构可以利用目标与干扰角度扇区先验。

12.3 选择题

当样本协方差矩阵最小特征值很小、求逆不稳定时，最直接的方法是：
A. 空间平滑
B. 对角加载
C. 增大阵元间距
D. 相位解模糊
当题目已知理想 ULA 协方差应沿对角线恒定时，可采用：
A. Toeplitz 化
B. ESPRIT
C. 差波束测角
D. 射频功分
高阶累积量能够抑制未知高斯色噪声的根本原因是：
A. 色噪声功率为零
B. 色噪声一定是白噪声
C. 高斯过程三阶及以上累积量为零
D. 高阶累积量不需要样本
下列最适合跟踪每天开机后的电子通道漂移的是：
A. 每次重新建设远场校正塔
B. 快速内场校正
C. 增大阵元间距
D. 删除全部训练样本

12.4 简答题

说明阵列幅相误差对波束形成和 MUSIC 的影响。
比较内场校正与外场校正。
为什么自适应波束形成后仍需阵列校正？
说明无校正源自校正的两类基本思想。
说明高阶累积量提高高斯色噪声下稳健性的原因和局限。
说明循环平稳性与多普勒结构如何提高阵列处理稳健性。
分别说明对角加载、Toeplitz 化、样本挑选和协方差重构的作用。

12.5 计算题

已知：
[
S_1=3e^{j10^\circ},
\qquad
S_2=2e^{-j20^\circ}
]
求 (H_2)。
已知：
[
H_{1i}=0.9e^{j5^\circ},
\quad
H_{2i}=1.0e^{-j2^\circ},
\quad
H_{3i}=1.1e^{j3^\circ}
]
求 (H_{4i})。
已知：
[
\lambda(\widehat{\mathbf R})
=
{8,1,0.01},
\quad
\delta=0.2
]
求加载后特征值。
对矩阵：
[
\widehat{\mathbf R}
=
\begin{bmatrix}
3&1+j\
1-j&5
\end{bmatrix}
]
做 Hermitian Toeplitz 化。

13. 练习答案

13.1 填空题

(\boldsymbol\Gamma)；(\mathbf Z)。
(H_i(j\omega)=S_1(j\omega)/S_i(j\omega))。
(H_{4i}=H_{3i}H_{1i}/H_{2i})。
0。
循环频率。
(\widehat{\mathbf R}+\delta\mathbf I)。
Hermitian Toeplitz。
(e^{j\omega(m-1)T})。

13.2 判断题

错。导向矢量失配时仍可能目标自相消。
错。内场注入通常不覆盖完整外部传播和天线口径。
对。
错。加载过大会损失自适应干扰抑制能力。
错。只应在相应阵列和统计条件成立时使用。
错。高阶累积量有限样本估计方差通常更大。
对。
对。

13.3 选择题

B。
A。
C。
B。

13.4 计算题

第 1 题

$$ \begin{aligned} H_2 &= \frac{3e^{j10^\circ}} {2e^{-j20^\circ}}\\ &= 1.5e^{j30^\circ} \end{aligned} $$

第 2 题

$$ D_i = \frac{1.1e^{j3^\circ}} {1.0e^{-j2^\circ}} = 1.1e^{j5^\circ} $$

$$ H_{4i} = 1.1e^{j5^\circ} \cdot 0.9e^{j5^\circ} = 0.99e^{j10^\circ} $$

第 3 题

$$ \boxed{ \lambda(\widehat{\mathbf R}_{DL}) = \{8.2,\ 1.2,\ 0.21\}} $$

第 4 题

主对角线平均：

$$ \bar r_0=\frac{3+5}{2}=4 $$

第一条上对角线：

$$ \bar r_1=1+j $$

所以：

$$ \boxed{ \widehat{\mathbf R}_T = \begin{bmatrix} 4&1+j\\ 1-j&4 \end{bmatrix}} $$

14. 考前自检清单

14.1 必须能脱稿写出

[ ] 理想阵列接收模型。
[ ] 幅相误差模型 (\mathbf a_{\text{real}}=\boldsymbol\Gamma\mathbf a_{\text{ideal}})。
[ ] 互耦模型 (\mathbf x=\mathbf Z\mathbf A\mathbf s+\mathbf n)。
[ ] 参考通道校正系数 (H_i=S_1/S_i)。
[ ] 内外联合校正 (H_{4i}=(H_{3i}/H_{2i})H_{1i})。
[ ] 高斯过程三阶及以上累积量为零。
[ ] 对角加载 (\widehat{\mathbf R}+\delta\mathbf I)。
[ ] 扇区协方差积分形式。
[ ] 多普勒时间导向矢量 (\mathbf b(\omega))。

14.2 必须能讲清楚

[ ] 外场和内场校正的区别。
[ ] 为什么内外场校正应结合使用。
[ ] 为什么自适应波束形成不能替代校正。
[ ] 无校正源自校正的联合估计和子空间思想。
[ ] 高阶累积量为什么能抗未知高斯色噪声。
[ ] 高阶累积量的有限样本缺点。
[ ] 循环平稳性和多普勒结构为什么增加稳健性。
[ ] 四种常用稳健方法分别针对什么问题。

14.3 最容易写错的地方

校正系数方向写反：
[
H_i=\frac{S_{\text{reference}}}{S_i}
]
不是 (S_i/S_{\text{reference}})。
把“内场校正”误写成“近场校正”。二者概念不完全相同。
只写“高斯白噪声高阶累积量为零”。正确说法是高斯过程，不限于白噪声。
忘记高阶累积量有限样本估计方差较大。
认为对角加载越大越好。
认为任何阵列协方差都能强制 Toeplitz 化。
把旧文件“第六章相干源处理”误当成本章内容。

15. 课件原题与高概率问法

15.1 课件原思考题

阵列若采用自适应波束形成，是否无需阵列校正？

结论：

$$ \boxed{\text{不是，仍需要阵列校正}} $$

完整答案见第 3.5 节。

15.2 课件翻转问题 1

相控阵雷达发射外场校正采用接收端补偿是否可行？

答题思路：

原理上可行，但必须能够分别识别每个发射通道的响应。例如采用通道依次发射、正交波形或编码方式，使校正接收端能够分离各通道贡献。若所有通道同时发射完全相同且不可分离的波形，只能测得合成响应，不能独立估计各发射通道误差。

15.3 课件翻转问题 2

校正节点与阵列雷达节点不能统一时频时，如何进行发射外场校正？

可写思路：

建立共同频率参考或时间同步链路；
设置稳定参考通道，使用相对通道比值消除公共相位；
各通道同时使用可分离的正交校正波形，减少跨时刻相位漂移；
使用双向或往返测量抵消公共时钟误差；
对校正节点本振相位漂移进行单独估计和补偿。

这属于拓展思考，不是当前大纲的核心背诵项。

15.4 高概率简答题

写出系统幅相误差模型并说明影响。
说明基于校正源的内外场阵列校正流程。
推导参考通道校正系数。
写出内外联合校正系数并解释物理意义。
说明为什么高阶累积量可抑制高斯色噪声。
说明循环平稳性或多普勒信息提高稳健性的原因。
比较对角加载、Toeplitz 化、样本挑选和协方差重构。

16. 资料来源与证据索引

16.1 最高优先级：当前复习大纲

文件：20260605.pdf

第 10 页：第六章 6.1～6.4。
第 11 页：6.5 常用稳健处理方式。

大纲明确要求：

掌握基于校正源的内外场校正；
了解无校正源自校正；
熟悉高阶累积量抗未知高斯色噪声的原因；
理解循环平稳性、多普勒平移不变性等其他域信息；
了解对角加载、Toeplitz 性、样本挑选、协方差矩阵重构。

16.2 2026 第六章 A/C 课件

文件：2026 第六章 A/C 课件

第 1～3 页：系统误差模型及其对波束形成、MUSIC 的影响。
第 4 页：测试校正、联合处理、自校正和子空间法分类。
第 5～9 页：外场、内场和近距离点频接收校正案例。
第 10 页：Toeplitz 化与扇区先验协方差。
第 11～14 页：高阶矩、累积量性质及抗高斯色噪声动机。
第 15～18 页：四阶累积量 MUSIC/ESPRIT 补充。
第 19 页：循环平稳性。
第 20～24 页：多普勒结构、空时模型与盲波束形成。
第 25 页：自适应波束形成是否仍需校正的课件原思考题。

同名 PPTX 共 25 张幻灯片，与 PDF 页数一致；PPTX 只有两个空白备注页，没有额外讲义内容。

16.3 2026 第六章 B 课件

文件：2026 第六章 B 课件

第 2 页：收发校正内容分类。
第 4 页：数字阵列雷达系统与校正通道结构。
第 5～6 页：外场、内场和联合校正系数。
第 7～16 页：发射外校正的发射端/接收端补偿及实验比较。
第 17～25 页：发射内校正的两种补偿方式及实验比较。
第 26～30 页：接收外校正。
第 31～37 页：接收内校正、实验结论和课堂翻转问题。

16.4 旧版稳健处理课件

文件：旧版稳健阵列处理课件

用途：

与 2026 A/C 课件交叉核对系统误差、高阶累积量、循环平稳和多普勒结构；
当前章节编号以 2026 年 6 月 5 日大纲为准。

16.5 对角加载补充来源

文件：第三章空域滤波课件

第 50 页：对角加载及特征值解释。
第 58～59 页：对角加载减弱小特征值及其特征向量估计误差的影响。

16.6 历年试题使用说明

已检查：

结论：

现有公开试题主要对应旧课程结构；
未发现可直接视为当前第六章完整真题的题目；
本文练习沿用历年题常见的填空、判断、简答、公式计算风格，但内容依据当前大纲和 2026 课件编写。

17. 最后十分钟速背

真实流形：
[
\mathbf a_{\text{real}}
=
\boldsymbol\Gamma
\mathbf a_{\text{ideal}}
]
互耦：
[
\mathbf x=\mathbf Z\mathbf A\mathbf s+\mathbf n
]
误差后果：主瓣偏、旁瓣高、目标自相消、MUSIC 谱峰恶化。
校正系数：
[
H_i=S_1/S_i
]
联合校正：
[
H_{4i}=(H_{3i}/H_{2i})H_{1i}
]
外场完整但麻烦；内场快速但覆盖不完整。
自校正：DOA 与误差联合估计，或用主特征向量估计真实流形。
高斯过程三阶及以上累积量为零，因此可抑制未知高斯色噪声。
高阶累积量缺点：有限样本估计方差大。
循环平稳靠循环频率分离；多普勒靠脉间固定相位增量。
对角加载：
[
\widehat{\mathbf R}+\delta\mathbf I
]
Toeplitz 化：同一对角线平均。
样本挑选：去目标污染、异常和非同分布样本。
协方差重构：利用空间谱与角度扇区重建 (\mathbf R_{i+n})。

如果以上 14 条能够脱稿写出并完成第 12 节练习，本章已达到考前可用水平。

第六章 稳健阵列信号处理：零基础快速复习

0. 怎么使用本文

0.1 掌握等级

0.2 第六章当前大纲

0.3 时间紧时的学习路线

0.4 资料口径与章节冲突

1. 一页必背清单

1.1 什么叫稳健

1.2 理想模型与误差模型

1.3 系统误差造成什么后果

1.4 参考通道校正系数

1.5 外场与内场校正

1.6 内外联合校正

1.7 无校正源自校正

1.8 高阶累积量为什么能抗未知高斯色噪声

1.9 其他域信息为什么有用

1.10 四种常用稳健方法

2. 零基础先建立总图景

2.1 为什么阵列算法会怕“模型不准”

2.2 本章的四条解决路线

2.3 校正与稳健处理的区别

3. 系统误差模型及影响

3.1 常见系统误差

3.2 幅相误差矩阵

3.3 互耦误差

3.4 对波束形成的影响

3.5 为什么自适应波束形成仍需要校正

3.6 对 MUSIC 的影响

4. 基于校正源的内外场阵列校正

4.1 基本思想

4.2 幅度和相位形式

4.3 点频校正

4.4 外场校正原理

4.5 内场校正原理

4.6 内外场不是二选一

4.7 内外联合校正公式

4.8 发射校正与接收校正

发射校正

接收校正

4.9 补偿放在发射端还是接收端

4.10 外场与内场校正简答模板

5. 无校正源阵列自校正

5.1 为什么叫“无校正源”

5.2 联合处理法

5.3 子空间处理法

5.4 优缺点

5.5 考试答题深度

6. 高阶累积量与未知高斯色噪声

6.1 为什么二阶方法会受色噪声影响

6.2 累积量的关键性质

多线性

独立变量的可加性

高斯过程高阶累积量为零

6.3 四阶累积量

6.4 为什么能消除高斯色噪声

6.5 四阶累积量矩阵与 MUSIC

6.6 高阶累积量的第二个作用

6.7 局限

6.8 高频简答模板

7. 利用其他域信息提高稳健性

7.1 总原则

7.2 循环平稳信号

7.3 循环频率域分离

7.4 多普勒指数结构

7.5 空时联合模型

7.6 为什么估计会更稳

7.7 盲波束形成补充

7.8 循环平稳与多普勒比较

8. 常用稳健处理方法

8.1 对角加载

8.1.1 公式

8.1.2 特征值解释

8.1.3 为什么更稳健

8.1.4 加载量的权衡

8.2 利用 Toeplitz 结构

8.2.1 适用条件

8.2.2 为什么实际矩阵不再严格 Toeplitz

8.2.3 对角线平均

8.2.4 为什么有效

8.2.5 不能乱用

第六章稳健阵列信号处理：零基础快速复习