第五章阵列波达方向估计与高分辨处理：零基础快速复习

适用课程：西安电子科技大学《阵列信号处理》
核心目标：围绕当前复习大纲，掌握传统测向、CAPON、MUSIC、ESPRIT 方法 1 和空间平滑解相干，并具备完成算法步骤题、公式推导题、MATLAB 程序填空题和方法比较题的能力。
资料优先级：2026 年 6 月 5 日课程大纲 > 2026 年第五章课件 > 2021/2022 年真题 > 扫描旧题与答案。
本文统一使用 (H) 表示共轭转置，(\operatorname{span}(\cdot)) 表示张成空间。

0. 使用方法、范围与符号

0.1 掌握等级

【必须掌握】：能脱离资料写出定义、步骤和关键公式，并能完成直接推导或 MATLAB 程序。
【熟悉】：能解释适用条件、性能差异、失败原因和改进思路。
【了解】：知道基本思想、用途和结论，不要求独立完成复杂推导。
【次优先补充】：2026 年第五章课件已经讲授，但 2026 年 6 月 5 日复习大纲没有单独列出；时间充足时学习。

0.2 时间紧时的复习路线

如果只有约 3 小时：

背第 1 节“一页必背清单”。
学第 4～6 节：子空间基础、CAPON、MUSIC。
学第 7 节 ESPRIT 方法 1。
学第 8 节空间平滑，重点做 2022 年真题型。
运行或手抄第 10 节 MATLAB 模板。
完成第 13 节真题型训练和第 14 节自测。

如果有半天：

按顺序完整学习第 2～10 节。
独立写一遍 CAPON、MUSIC 和 ESPRIT 方法 1 的步骤。
独立推导一次空间平滑后的协方差矩阵。
学第 11 节 ML/AP/WSSF 次优先补充。
自测达到 80 分以上。

0.3 当前大纲与复习深度

大纲知识	应达到的程度	常见考法	重要度
两阵元干涉相位	会写相位差和测角式，知道模糊条件	填空、计算、简答	★★★★
波束形成测向	会写扫描功率表达式和步骤	填空、简答、程序	★★★★
和差测角原理	会解释和波束、差波束和鉴角曲线	简答	★★★★
CAPON	会写优化问题、谱函数、步骤和程序	步骤题、程序题、推导	★★★★★
信号/噪声子空间	会由协方差特征分解建立两个子空间	推导、简答	★★★★★
MUSIC	会写谱函数、步骤、程序和失效条件	步骤题、程序题、简答	★★★★★
ESPRIT 方法 1	会由广义特征值求旋转因子和角度	步骤题、程序题、计算	★★★★★
前向空间平滑	会写 (\mathbf D)、各子阵协方差和平均式	简答、推导	★★★★★
秩恢复定理	会判断需要多少子阵及可分辨源数	简答、判断、计算	★★★★★
后向空间平滑	会写基本形式和解释共轭倒置	简答、判断	★★★
CAPON/MUSIC 比较	会比较分辨力、稳健性和先验要求	简答	★★★★
ML/AP/WSSF	知道目标函数和基本流程	课程补充、潜在简答	★★

0.4 本章资料范围的口径说明

当前大纲把“空间平滑法解相干测向”列为第五章 5.5。
对应课件文件仍命名为“第六章相干源高分辨处理”，本文按当前大纲将其中空间平滑内容纳入第五章。
2026 年第五章 G 课件讲授 ML、AP 和 WSSF，但当前大纲没有单独列出。因此本文保留这些内容，标为“次优先补充”。
MNV 出现在 2026 年子空间课件总结中，但当前大纲没有点名，本文按“熟悉/补充”处理。

0.5 统一符号

为避免原课件中 (M) 同时表示快拍数和子阵长度，本文统一使用：

符号	含义
(N)	原阵列阵元数
(P)	信源数
(K)	快拍数
(m)	空间平滑的子阵阵元数
(L=N-m+1)	前向平滑子阵数
(\mathbf x(k))	第 (k) 个阵列快拍
(\mathbf X)	(N\times K) 快拍矩阵
(\mathbf A(\boldsymbol\theta))	阵列流形矩阵
(\mathbf R)	理论协方差矩阵
(\widehat{\mathbf R})	样本协方差矩阵
(\mathbf U_s,\mathbf U_n)	信号、噪声子空间基矩阵

0.6 角度和指数符号约定

本文以 ULA、角度从阵列法线起算为例：

$$ \boxed{ \mathbf a(\theta)= \begin{bmatrix} 1& e^{-jkd\sin\theta}& \cdots& e^{-j(N-1)kd\sin\theta} \end{bmatrix}^T} $$

其中：

$$ k=\frac{2\pi}{\lambda} $$

若题目或课件采用相反的时间因子，指数正负号会整体改变。考试时必须保证导向矢量、互相关定义、旋转因子和角度反演公式前后一致。

1. 一页必背清单

1.1 阵列接收模型

$$ \boxed{ \mathbf x(k) = \mathbf A(\boldsymbol\theta)\mathbf s(k) + \mathbf n(k)} $$

$$ \mathbf A(\boldsymbol\theta) = \begin{bmatrix} \mathbf a(\theta_1)& \cdots& \mathbf a(\theta_P) \end{bmatrix} $$

白噪声条件下：

$$ \boxed{ \mathbf R =E[\mathbf x\mathbf x^H] = \mathbf A\mathbf R_s\mathbf A^H + \sigma_n^2\mathbf I} $$

样本协方差：

$$ \boxed{ \widehat{\mathbf R} = \frac1K\mathbf X\mathbf X^H = \frac1K \sum_{k=1}^{K} \mathbf x(k)\mathbf x^H(k)} $$

1.2 两阵元干涉仪

采用本文导向矢量约定：

$$ \frac{x_2}{x_1} =e^{-jkd\sin\theta} $$

相位差：

$$ \boxed{ \Delta\phi =-kd\sin\theta \pmod{2\pi}} $$

无模糊时：

$$ \boxed{ \widehat\theta = \arcsin\left( -\frac{\lambda\Delta\phi}{2\pi d} \right)} $$

全视场不模糊的常用条件：

$$ \boxed{d\le\frac{\lambda}{2}} $$

1.3 波束形成扫描测向

$$ \boxed{ P_{\text{BF}}(\theta) = \mathbf a^H(\theta) \widehat{\mathbf R} \mathbf a(\theta)} $$

归一化权下只差比例常数。空间谱峰值对应估计 DOA。

1.4 CAPON

$$ \boxed{ \begin{aligned} \min_{\mathbf w}\quad& \mathbf w^H\widehat{\mathbf R}\mathbf w\\ \text{s.t.}\quad& \mathbf w^H\mathbf a(\theta)=1 \end{aligned}} $$

$$ \boxed{ \mathbf w_{\text C}(\theta) = \frac{ \widehat{\mathbf R}^{-1}\mathbf a(\theta)} {\mathbf a^H(\theta) \widehat{\mathbf R}^{-1}\mathbf a(\theta)}} $$

$$ \boxed{ P_{\text C}(\theta) = \frac1{ \mathbf a^H(\theta) \widehat{\mathbf R}^{-1} \mathbf a(\theta)}} $$

1.5 子空间

特征值降序排列：

$$ \widehat{\mathbf R} = \mathbf U_s\boldsymbol\Lambda_s\mathbf U_s^H + \mathbf U_n\boldsymbol\Lambda_n\mathbf U_n^H $$

$$ \boxed{ \operatorname{span}(\mathbf U_s) = \operatorname{span}(\mathbf A)} $$

真实 DOA 满足：

$$ \boxed{ \mathbf U_n^H\mathbf a(\theta_p)=\mathbf0} $$

1.6 MUSIC

$$ \boxed{ P_{\text{MUSIC}}(\theta) = \frac1{ \mathbf a^H(\theta) \mathbf U_n\mathbf U_n^H \mathbf a(\theta)}} $$

等价形式：

$$ \boxed{ P_{\text{MUSIC}}(\theta) = \frac1{\|\mathbf U_n^H\mathbf a(\theta)\|_2^2}} $$

1.7 ESPRIT 方法 1

两个相同子阵相隔 (\Delta)：

$$ \mathbf x(k)=\mathbf A\mathbf s(k)+\mathbf n_x(k) $$

$$ \mathbf y(k)=\mathbf A\mathbf D\mathbf s(k)+\mathbf n_y(k) $$

$$ \boxed{ \mathbf D = \operatorname{diag} \left( e^{j\frac{2\pi}{\lambda}\Delta\sin\theta_1}, \ldots, e^{j\frac{2\pi}{\lambda}\Delta\sin\theta_P} \right)} $$

计算：

$$ \mathbf C_{xx} = \mathbf R_{xx}-\sigma_n^2\mathbf I $$

矩阵束：

$$ \boxed{ \{\mathbf C_{xx},\mathbf R_{xy}\}} $$

其 (P) 个模最接近 1 的广义特征值为旋转因子：

$$ \boxed{ \zeta_i = e^{j\frac{2\pi}{\lambda}\Delta\sin\theta_i}} $$

当相位无模糊时：

$$ \boxed{ \widehat\theta_i = \arcsin\left[ \frac{\lambda} {2\pi\Delta} \angle(\zeta_i) \right]} $$

1.8 前向空间平滑

$$ \boxed{L=N-m+1} $$

第 (\ell) 个子阵：

$$ \boxed{ \mathbf x_\ell(k) = \mathbf A_m \mathbf D^{\ell-1} \mathbf s(k) + \mathbf n_\ell(k)} $$

$$ \boxed{ \mathbf R_\ell = \mathbf A_m \mathbf D^{\ell-1} \mathbf R_s \mathbf D^{-(\ell-1)} \mathbf A_m^H + \sigma_n^2\mathbf I_m} $$

平滑协方差：

$$ \boxed{ \overline{\mathbf R} = \frac1L \sum_{\ell=1}^{L} \mathbf R_\ell} $$

等效信号协方差：

$$ \boxed{ \widetilde{\mathbf R}_s = \frac1L \sum_{\ell=1}^{L} \mathbf D^{\ell-1} \mathbf R_s \mathbf D^{-(\ell-1)}} $$

秩恢复结论：

$$ \boxed{ \operatorname{rank} (\widetilde{\mathbf R}_s) \ge \min\{r+L-1,P\}} $$

其中：

$$ r=\operatorname{rank}(\mathbf R_s) $$

完全相干时 (r=1)，若：

$$ \boxed{L\ge P} $$

则理论上可恢复到满秩 (P)。用 MUSIC 还必须满足：

$$ \boxed{m>P} $$

2. DOA 测向问题和传统方法总览

2.1 学到什么程度

【必须掌握】

知道 DOA 是什么，以及阵列为什么能够测角。
会区分干涉仪、波束扫描和和差测角的基本信息来源。
会写两阵元相位差和波束扫描功率表达式。
能用自己的话说明和差测角的鉴角过程。

来源

当前课程大纲：PDF 第 9～10 页，5.1。
传统测向课件：PDF 第 2～5、48～53 页。
第五章总讲义：PDF 第 1～3 页。

2.2 DOA 是什么

DOA 是 Direction of Arrival，即信号的到达方向。

远场窄带条件下，同一信号到达不同阵元时，包络近似相同，但具有由传播距离差引起的相位差：

$$ \Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta r $$

阵列通过比较不同阵元或不同波束输出的相位、幅度或功率，估计信号方向。

2.3 三类传统测向方法

方法	主要利用的信息	核心操作	主要局限
干涉仪	阵元间相位差	由相位差反解角度	大基线时有相位模糊
波束形成扫描	扫描波束输出功率	扫描角度并找峰	分辨力受主瓣宽度限制
和差测角	和、差波束输出比	经鉴角曲线求偏角	主要在主瓣线性区工作

传统方法通常更适合单目标或角度间隔较大的目标。多个目标间隔小于一个常规波束宽度时，普通波束扫描难以分辨。

3. 传统测向方法

3.1 两阵元干涉仪

3.1.1 学到什么程度

【必须掌握】

会写两阵元接收模型、相位差和角度反演式。
知道阵元间距增大能提高精度，但会加重相位模糊。
会说明为什么 (d\le\lambda/2) 是常用无模糊条件。

3.1.2 两阵元模型

采用：

$$ \mathbf a(\theta) = \begin{bmatrix} 1\\ e^{-jkd\sin\theta} \end{bmatrix} $$

无噪声时：

$$ x_1(k)=s(k) $$

$$ x_2(k)=s(k)e^{-jkd\sin\theta} $$

互相关：

$$ E[x_2x_1^*] = \sigma_s^2e^{-jkd\sin\theta} $$

所以：

$$ \Delta\phi = \angle E[x_2x_1^*] = -kd\sin\theta \pmod{2\pi} $$

无模糊时：

$$ \widehat\theta = \arcsin\left( -\frac{\lambda\Delta\phi}{2\pi d} \right) $$

如果题目把互相关定义成 (E[x_1x_2^*])，相位符号会相反。

3.1.3 精度与模糊的矛盾

忽略噪声传播的细节，角度误差与相位误差近似满足：

$$ \delta\theta \approx \frac{\lambda} {2\pi d\cos\theta} \delta\phi $$

因此：

(d) 越大，相同相位误差对应的角度误差越小；
但 (d) 越大，相位跨越 (2\pi) 的可能性越高；
接近端射方向时 (\cos\theta) 变小，测角误差增大。

3.1.4 多基线解模糊

工程上常同时使用短基线和长基线：

短基线负责无模糊粗测；
长基线负责高精度细测；
用短基线结果确定长基线的整周模糊数。

当前大纲只要求两阵元干涉相位表达式，不必优先学习复杂整数搜索。

3.2 波束形成扫描测向

3.2.1 学到什么程度

【必须掌握】

会写扫描权、扫描输出和扫描功率。
会解释为什么空间谱峰值对应 DOA。
知道普通扫描的分辨力受阵列孔径和波束宽度限制。

3.2.2 常规扫描

扫描角为 (\theta) 时，取：

$$ \mathbf w(\theta) = \frac{\mathbf a(\theta)} {\mathbf a^H(\theta)\mathbf a(\theta)} $$

ULA 等模导向矢量下：

$$ \mathbf w(\theta)=\frac{\mathbf a(\theta)}{N} $$

输出：

$$ y_\theta(k) = \mathbf w^H(\theta)\mathbf x(k) $$

输出功率：

$$ \begin{aligned} P_{\text{BF}}(\theta) &= \mathbf w^H(\theta) \widehat{\mathbf R} \mathbf w(\theta)\\ &\propto \mathbf a^H(\theta) \widehat{\mathbf R} \mathbf a(\theta) \end{aligned} $$

估计角度：

$$ \boxed{ \widehat\theta_p = \text{空间谱中第 }p\text{ 个显著峰的位置}} $$

3.2.3 加窗

若使用幅度窗 (\mathbf h)：

$$ \mathbf w(\theta) = \mathbf h\odot\mathbf a(\theta) $$

加窗通常：

降低旁瓣；
展宽主瓣；
降低峰值增益；
可能降低近邻目标分辨力。

3.3 和差测角

3.3.1 学到什么程度

【必须掌握】

会说明和波束、差波束的形状。
会写“比值—鉴角曲线—偏角—目标角度”的流程。
知道线性近似只在波束中心附近成立。

3.3.2 核心原理

通过不同加权形成：

和波束 (\Sigma)：在当前波束指向 (\theta_0) 处有主瓣；
差波束 (\Delta)：在 (\theta_0) 处有零点，并在两侧变号。

目标偏离波束中心：

$$ \varepsilon=\theta-\theta_0 $$

构造单脉冲比：

$$ q(\theta) = \frac{\Delta(\theta)} {\Sigma(\theta)} $$

在波束中心附近：

$$ q(\theta) \approx K_\Delta\varepsilon $$

或在比相和差中写成：

$$ \operatorname{Im} \left[ \frac{\Delta(\theta)} {\Sigma(\theta)} \right] \approx K_\Delta\varepsilon $$

因此：

$$ \boxed{ \widehat\theta = \theta_0 + \frac{q}{K_\Delta}} $$

实际系统通常通过理论计算或标定得到鉴角曲线，再查表求偏角。

3.3.3 答题模板

和差测角通过不同阵列加权形成和波束与差波束。和波束在当前指向处具有最大响应，差波束在该方向形成零点并在两侧变号。利用差波束与和波束的输出比构造鉴角函数，在主瓣中心附近该比值与目标偏角近似成线性关系，经过鉴角曲线求出偏角，再与当前波束指向相加得到目标角度。

4. 子空间高分辨测向的数学基础

4.1 学到什么程度

【必须掌握】

会从接收模型推到协方差模型。
会解释信号子空间和噪声子空间分别由哪些特征向量构成。
会证明真实导向矢量与噪声子空间正交。
知道非相干、白噪声和阵列流形满列秩等基本条件。

来源

子空间类方法课件：PDF 第 3～19 页。
第五章总讲义：PDF 第 4～13 页。

4.2 接收模型

$$ \mathbf x(k) = \mathbf A\mathbf s(k) + \mathbf n(k) $$

其中：

$$ \mathbf A = \begin{bmatrix} \mathbf a(\theta_1)& \cdots& \mathbf a(\theta_P) \end{bmatrix} \in\mathbb C^{N\times P} $$

通常要求：

$$ \boxed{P<N} $$

且不同信源方向对应的导向矢量线性无关，使：

$$ \boxed{\operatorname{rank}(\mathbf A)=P} $$

对于 ULA，若方向不发生空间混叠且各方向不同，(\mathbf A) 是范德蒙型矩阵，通常列满秩。

4.3 协方差模型

若信号与噪声不相关，噪声为空间白噪声：

$$ E[\mathbf n\mathbf n^H] = \sigma_n^2\mathbf I $$

则：

$$ \begin{aligned} \mathbf R &= E[\mathbf x\mathbf x^H]\\ &= \mathbf A\mathbf R_s\mathbf A^H + \sigma_n^2\mathbf I \end{aligned} $$

其中：

$$ \mathbf R_s = E[\mathbf s\mathbf s^H] $$

若 (P) 个信号非相干且功率非零：

$$ \operatorname{rank}(\mathbf R_s)=P $$

于是：

$$ \operatorname{rank} (\mathbf A\mathbf R_s\mathbf A^H) =P $$

4.4 特征分解

将特征值按降序排列：

$$ \lambda_1\ge\cdots\ge\lambda_P > \lambda_{P+1}=\cdots=\lambda_N =\sigma_n^2 $$

理论条件下：

$$ \mathbf R = \sum_{i=1}^{P} \lambda_i\mathbf u_i\mathbf u_i^H + \sigma_n^2 \sum_{i=P+1}^{N} \mathbf u_i\mathbf u_i^H $$

定义：

$$ \boxed{ \mathbf U_s = \begin{bmatrix} \mathbf u_1&\cdots&\mathbf u_P \end{bmatrix}} $$

$$ \boxed{ \mathbf U_n = \begin{bmatrix} \mathbf u_{P+1}&\cdots&\mathbf u_N \end{bmatrix}} $$

4.5 为什么信号子空间等于阵列流形张成的空间

$$ \mathbf R-\sigma_n^2\mathbf I = \mathbf A\mathbf R_s\mathbf A^H $$

当 (\mathbf A) 列满秩、(\mathbf R_s) 满秩时：

$$ \mathcal R (\mathbf R-\sigma_n^2\mathbf I) = \mathcal R(\mathbf A) $$

而 (\mathbf R-\sigma_n^2\mathbf I) 的非零特征值对应特征向量正好是 (\mathbf U_s)，所以：

$$ \boxed{ \operatorname{span}(\mathbf U_s) = \operatorname{span}(\mathbf A)} $$

注意：两个空间相同，不表示：

$$ \mathbf U_s=\mathbf A $$

一般只存在可逆矩阵 (\mathbf T)，使：

$$ \boxed{ \mathbf U_s=\mathbf A\mathbf T} $$

4.6 正交性

噪声子空间是信号子空间的正交补：

$$ \mathbf U_n^H\mathbf U_s=\mathbf0 $$

因为每个真实导向矢量 (\mathbf a(\theta_p)) 都属于信号子空间，所以：

$$ \boxed{ \mathbf U_n^H\mathbf a(\theta_p)=\mathbf0} $$

这就是 MUSIC 的根本依据。

4.7 样本条件下会发生什么

实际只得到：

$$ \widehat{\mathbf R} = \frac1K\mathbf X\mathbf X^H $$

有限快拍、低信噪比、色噪声、阵列误差会使：

$$ \lambda_{P+1},\ldots,\lambda_N $$

不再完全相等，且：

$$ \mathbf U_n^H\mathbf a(\theta_p) \neq\mathbf0 $$

因此实际空间谱峰有限，不会真正无穷大。

5. CAPON 高分辨测向

5.1 学到什么程度

【必须掌握】

会写 CAPON 的约束优化问题。
会推导或至少写出最优权和 CAPON 谱。
会完整写出测向步骤。
会编写一维 CAPON MATLAB 子程序。
会说明 CAPON 比普通波束扫描分辨力高的原因。

来源

当前课程大纲 PDF 第 10 页，5.2。
子空间类方法课件 PDF 第 25～29 页。
第五章总讲义 PDF 第 19～23 页。
2021 年试题.pdf>)：PDF 第 4 页，硕士生 CAPON 步骤题。
扫描旧题与答案：PDF 第 10～11 页，CAPON 推导、比较及高 SNR 联系。

5.2 核心思想

对每一个扫描角 (\theta)：

强制该方向单位增益；
让阵列总输出功率最小；
若该方向确实存在信号，为保持单位增益，最小输出功率仍会较大；
扫描所有方向，功率峰值对应信号方向。

5.3 优化问题

$$ \boxed{ \begin{aligned} \min_{\mathbf w}\quad& \mathbf w^H\widehat{\mathbf R}\mathbf w\\ \text{s.t.}\quad& \mathbf w^H\mathbf a(\theta)=1 \end{aligned}} $$

5.4 最优权

构造拉格朗日函数，求导可得：

$$ \widehat{\mathbf R}\mathbf w = \mu\mathbf a(\theta) $$

因此：

$$ \mathbf w = \mu\widehat{\mathbf R}^{-1} \mathbf a(\theta) $$

代入无失真约束：

$$ \mu = \frac1{ \mathbf a^H(\theta) \widehat{\mathbf R}^{-1} \mathbf a(\theta)} $$

最终：

$$ \boxed{ \mathbf w_{\text C}(\theta) = \frac{ \widehat{\mathbf R}^{-1}\mathbf a(\theta)} {\mathbf a^H(\theta) \widehat{\mathbf R}^{-1} \mathbf a(\theta)}} $$

5.5 CAPON 谱

最小输出功率：

$$ \begin{aligned} P_{\text C}(\theta) &= \mathbf w_{\text C}^H \widehat{\mathbf R} \mathbf w_{\text C}\\ &= \boxed{ \frac1{ \mathbf a^H(\theta) \widehat{\mathbf R}^{-1} \mathbf a(\theta)}} \end{aligned} $$

估计角度：

$$ \boxed{ \widehat\theta_p = \text{CAPON 谱的显著局部峰位置}} $$

5.6 CAPON 测向标准步骤

收集 (K) 个阵列快拍，组成：
$$ \mathbf X = \begin{bmatrix} \mathbf x(1)&\cdots&\mathbf x(K) \end{bmatrix} $$
估计协方差：
$$ \widehat{\mathbf R} = \frac1K\mathbf X\mathbf X^H $$
必要时进行对角加载：
$$ \widehat{\mathbf R}_L = \widehat{\mathbf R} + \delta\mathbf I $$
对每个扫描角构造导向矢量 (\mathbf a(\theta))。
计算：
$$ P_{\text C}(\theta) = \frac1{ \mathbf a^H(\theta) \widehat{\mathbf R}_L^{-1} \mathbf a(\theta)} $$
搜索显著局部峰并输出 DOA。

5.7 为什么分辨力高于普通扫描

普通波束扫描使用固定形状的匹配波束，主瓣宽度主要由孔径决定。

CAPON 对每个扫描角都利用数据协方差重新计算最优权：

扫描方向保持单位增益；
其他强信号和干扰方向被自适应压低；
有效谱峰通常比常规波束扫描更尖锐。

5.8 CAPON 的条件与弱点

(\widehat{\mathbf R}) 必须可逆或经过正则化；
快拍过少时，样本协方差误差会降低性能；
导向矢量失配会使真实方向不能严格保持单位增益；
强相关或相干信号会影响协方差结构，但 CAPON 不需要事先准确给出信源数。

6. MUSIC 超分辨测向

6.1 学到什么程度

【必须掌握】

会完整写出 MUSIC 五步流程。
会写噪声投影矩阵和 MUSIC 谱。
会编写一维或二维 MUSIC 程序。
能解释为什么需要信源数 (P)。
能说明低 SNR、有限快拍、相干源、色噪声和阵列误差的影响。

来源

当前课程大纲 PDF 第 10 页，5.3。
子空间类方法课件 PDF 第 17～24、27～29、45～47 页。
第五章总讲义 PDF 第 11～18、21～23 页。
2021 年试题 PDF 第 5 页，博士生 MUSIC 步骤题。
2022 年试题(1).pdf>)：PDF 第 4～5 页，MUSIC MATLAB 程序填空题。

6.2 核心思想

真实导向矢量属于信号子空间，与噪声子空间正交：

$$ \mathbf U_n^H\mathbf a(\theta_p)=\mathbf0 $$

因此定义：

$$ \boxed{ P_{\text{MUSIC}}(\theta) = \frac1{ \mathbf a^H(\theta) \mathbf U_n\mathbf U_n^H \mathbf a(\theta)}} $$

或者：

$$ \boxed{ P_{\text{MUSIC}}(\theta) = \frac1{ \|\mathbf U_n^H\mathbf a(\theta)\|_2^2}} $$

真实方向处，分母接近零，形成尖锐谱峰。

6.3 MUSIC 标准步骤

采集阵列数据并估计样本协方差：
$$ \widehat{\mathbf R} = \frac1K\mathbf X\mathbf X^H $$
对 (\widehat{\mathbf R}) 作特征值分解：
$$ \widehat{\mathbf R} = \mathbf U\boldsymbol\Lambda\mathbf U^H $$
将特征值按从大到小排列。
用 (P) 个大特征值对应特征向量组成 (\mathbf U_s)，用其余 (N-P) 个特征向量组成：
$$ \mathbf U_n $$
对每个搜索角构造 (\mathbf a(\theta))，计算 MUSIC 谱。
搜索最大的 (P) 个显著局部峰，得到 DOA。

6.4 信号和噪声投影矩阵

$$ \boxed{ \mathbf P_s = \mathbf U_s\mathbf U_s^H} $$

$$ \boxed{ \mathbf P_n = \mathbf U_n\mathbf U_n^H = \mathbf I-\mathbf P_s} $$

MUSIC 谱也可写成：

$$ P_{\text{MUSIC}}(\theta) = \frac1{ \mathbf a^H(\theta) \mathbf P_n \mathbf a(\theta)} $$

2022 年程序填空题采用的很可能就是这种投影矩阵形式。

6.5 为什么 MUSIC 谱峰不代表信号真实功率

MUSIC 谱只衡量：

$$ \mathbf a(\theta) $$

与噪声子空间的正交程度。其峰值高度会受到数值误差、网格和样本误差影响，不能直接当作信号功率。

CAPON 谱则是单位增益约束下的最小输出功率，与方向功率更直接相关。

6.6 信源数估计错误

设真实信源数为 (P)，算法使用 (\widehat P)。

欠估计：(\widehat P<P)

部分真实信号特征向量被错误放入噪声子空间：

$$ \mathbf U_n^H\mathbf a(\theta_p) $$

不再接近零，可能导致：

真峰消失；
峰值明显降低；
角度偏移；
漏警。

过估计：(\widehat P>P)

部分噪声特征向量被错误放入信号子空间，噪声子空间维数减小：

正交约束变少；
噪声底升高或谱形变差；
更容易出现伪峰；
估计稳定性下降。

一般而言，欠估计更容易直接造成真实目标漏检。

6.7 MUSIC 的主要失效条件

相干源：
$$ \operatorname{rank}(\mathbf R_s)<P $$
信号子空间维数小于信源数。
低信噪比、有限快拍：信号和噪声特征值难分，子空间发生泄漏。
色噪声：小特征值不再相等，普通白噪声 MUSIC 模型失配。
阵列幅相误差或阵元位置误差：搜索导向矢量与真实导向矢量不一致。
信源数估计错误。

6.8 一维噪声子空间 MNV

【熟悉/补充】

取最小特征值对应特征向量：

$$ \mathbf u_{\min} $$

构造：

$$ \boxed{ P_{\text{MNV}}(\theta) = \frac1{ |\mathbf u_{\min}^H \mathbf a(\theta)|^2}} $$

特点：

不必精确划分全部大小特征值；
只使用一个最小特征向量；
对某些小特征值扩散情况有一定适应性；
当前大纲没有点名，优先级低于 MUSIC。

7. ESPRIT 方法 1

7.1 学到什么程度

【必须掌握】

会说明平移不变性和旋转因子是什么。
会写两个子阵的数据模型及 (\mathbf D)。
会完整写出当前课件“方法 1”的五个步骤。
会由广义特征值 (\zeta_i) 反演角度。
会编写 ESPRIT 方法 1 的 MATLAB 程序。

来源

当前课程大纲 PDF 第 10 页，5.4。
子空间类方法课件 PDF 第 31～37 页。
第五章总讲义 PDF 第 31～37 页。

7.2 平移不变性

设两个结构完全相同的子阵，子阵 2 是子阵 1 整体平移 (\Delta) 得到。

本节为与当前 ESPRIT 方法 1 课件和考试公式保持一致，定义旋转因子为正指数形式。若沿用第 0.6 节负指数 ULA 导向矢量并把子阵 2 定义为向坐标正方向平移，则 (\mathbf D) 和 (\zeta_i) 应整体取共轭，角度反演式中的相位符号也同步改变；物理 DOA 不变。

子阵 1：

$$ \boxed{ \mathbf x(k) = \mathbf A\mathbf s(k) + \mathbf n_x(k)} $$

子阵 2：

$$ \boxed{ \mathbf y(k) = \mathbf A\mathbf D\mathbf s(k) + \mathbf n_y(k)} $$

其中：

$$ \boxed{ \mathbf D = \operatorname{diag} \left[ e^{j\frac{2\pi}{\lambda}\Delta\sin\theta_1}, \ldots, e^{j\frac{2\pi}{\lambda}\Delta\sin\theta_P} \right]} $$

(\mathbf D) 的每个对角元素是一个旋转因子，只与对应信号角度有关。

7.3 自相关和互相关

定义：

$$ \mathbf R_{xx} = E[\mathbf x\mathbf x^H] = \mathbf A\mathbf R_s\mathbf A^H + \sigma_n^2\mathbf I $$

若两个子阵噪声互不相关：

$$ \mathbf R_{xy} = E[\mathbf x\mathbf y^H] = \mathbf A\mathbf R_s \mathbf D^H\mathbf A^H $$

估计噪声功率后：

$$ \boxed{ \mathbf C_{xx} = \mathbf R_{xx} - \sigma_n^2\mathbf I \approx \mathbf A\mathbf R_s\mathbf A^H} $$

考虑：

$$ \mathbf C_{xx} - \zeta\mathbf R_{xy} = \mathbf A\mathbf R_s (\mathbf I-\zeta\mathbf D^H) \mathbf A^H $$

当：

$$ \zeta_i = e^{j\frac{2\pi}{\lambda}\Delta\sin\theta_i} $$

时，(\mathbf I-\zeta_i\mathbf D^H) 至少有一个对角元素为零，矩阵秩下降。因此旋转因子可由矩阵束的广义特征值获得。

7.4 ESPRIT 方法 1 标准步骤

计算：
$$ \widehat{\mathbf R}_{xx} = \frac1K\mathbf X\mathbf X^H $$
$$ \widehat{\mathbf R}_{xy} = \frac1K\mathbf X\mathbf Y^H $$
对 (\widehat{\mathbf R}_{xx}) 特征分解，用 (N_s-P) 个小特征值的平均值估计噪声功率：
$$ \boxed{ \widehat{\sigma}_n^2 = \frac1{N_s-P} \sum_{i=P+1}^{N_s} \widehat\lambda_i} $$
其中 (N_s) 为每个子阵的阵元数。
计算：
$$ \boxed{ \widehat{\mathbf C}_{xx} = \widehat{\mathbf R}_{xx} - \widehat{\sigma}_n^2\mathbf I} $$
对矩阵束：
$$ \boxed{ \{ \widehat{\mathbf C}_{xx}, \widehat{\mathbf R}_{xy} \}} $$
作广义特征值分解，选择 (P) 个模值最接近 1 的有限广义特征值：
$$ \zeta_1,\ldots,\zeta_P $$
由旋转因子相角计算 DOA：
$$ \boxed{ \widehat\theta_i = \arcsin\left[ \frac{\lambda} {2\pi\Delta} \angle(\zeta_i) \right]} $$

7.5 相位无模糊条件

因为：

$$ \angle(\zeta_i) = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta\sin\theta_i \pmod{2\pi} $$

为了在全视场避免模糊，课程课件采用：

$$ \boxed{\Delta<\frac{\lambda}{2}} $$

(\Delta=\lambda/2) 时理论相位范围到达 ([-\pi,\pi]) 边界，端射方向存在相位边界重合问题。

7.6 旋转因子计算例题

已知：

$$ \Delta=\frac{\lambda}{2}, \qquad \zeta=e^{j\pi/2} $$

则：

$$ \sin\theta = \frac{\lambda} {2\pi(\lambda/2)} \frac{\pi}{2} = \frac12 $$

所以：

$$ \boxed{\theta=30^\circ} $$

7.7 ESPRIT 的优缺点

优点：

不需要进行全角度谱峰搜索；
直接从旋转因子解析求角；
计算量通常低于细网格 MUSIC 搜索；
不存在“扫描步长导致的量化误差”。

缺点：

阵列必须具有两个相同且平移不变的子阵；
需要已知或估计信源数；
对子阵间幅相误差、位置误差敏感；
平移间距过大时存在相位模糊；
当前方法 1 依赖白噪声功率估计及矩阵束数值稳定性。

8. 相干源与空间平滑

8.1 学到什么程度

【必须掌握】

会解释相干源为什么使 MUSIC 失效。
会写前向空间平滑子阵模型、(\mathbf D)、各子阵协方差和平均协方差。
会使用秩恢复定理。
会解释子阵数与子阵孔径之间的折中。
会写后向平滑的基本形式，并说明共轭倒置不改变信号子空间。

来源

当前课程大纲 PDF 第 10 页，5.5。
相干源高分辨处理课件：PDF 第 4～20 页。
2022 年试题(1).pdf>)：PDF 第 6～7 页，前向空间平滑简答题。
第五章总讲义 PDF 第 14 页，MUSIC 相干源失效概述。

8.2 什么是相干源

若两个信号满足：

$$ s_2(k) = c\,s_1(k) $$

则二者完全相干，相关系数模为 1。

若 (P) 个信源完全相干：

$$ \boxed{ \operatorname{rank}(\mathbf R_s)=1} $$

于是：

$$ \operatorname{rank} (\mathbf A\mathbf R_s\mathbf A^H) =1 $$

协方差矩阵只能产生一个真正的信号特征方向，信号子空间维数小于信源数 (P)。这破坏了 MUSIC 所要求的：

$$ \operatorname{span}(\mathbf U_s) = \operatorname{span}(\mathbf A) $$

8.3 前向空间平滑的阵列划分

将 (N) 元 ULA 划分成 (L) 个相互重叠、长度为 (m) 的子阵：

$$ \boxed{ L=N-m+1} $$

第 1 个子阵使用阵元：

$$ 1,2,\ldots,m $$

第 2 个子阵使用阵元：

$$ 2,3,\ldots,m+1 $$

第 (\ell) 个子阵使用阵元：

$$ \ell,\ell+1,\ldots,\ell+m-1 $$

8.4 平移矩阵 (\mathbf D)

相邻子阵平移一个阵元间距 (d)。

$$ \boxed{ \mathbf D = \operatorname{diag} \left[ e^{-jkd\sin\theta_1}, \ldots, e^{-jkd\sin\theta_P} \right]} $$

本文导向矢量采用负指数，因此这里使用负指数。原课件使用正指数约定时：

$$ \mathbf D = \operatorname{diag} \left[ e^{jkd\sin\theta_1}, \ldots, e^{jkd\sin\theta_P} \right] $$

若：

$$ d=\frac{\lambda}{2} $$

则：

$$ \boxed{ \mathbf D = \operatorname{diag} \left[ e^{\mp j\pi\sin\theta_1}, \ldots, e^{\mp j\pi\sin\theta_P} \right]} $$

考试按题目导向矢量约定选取正负号。

8.5 各子阵数据模型

第一个子阵：

$$ \mathbf x_1(k) = \mathbf A_m\mathbf s(k) + \mathbf n_1(k) $$

第二个子阵：

$$ \mathbf x_2(k) = \mathbf A_m\mathbf D\mathbf s(k) + \mathbf n_2(k) $$

第 (\ell) 个子阵：

$$ \boxed{ \mathbf x_\ell(k) = \mathbf A_m \mathbf D^{\ell-1} \mathbf s(k) + \mathbf n_\ell(k)} $$

其中：

$$ \mathbf A_m \in\mathbb C^{m\times P} $$

是长度为 (m) 的子阵阵列流形。

8.6 各子阵协方差

$$ \begin{aligned} \mathbf R_\ell &= E[ \mathbf x_\ell(k) \mathbf x_\ell^H(k)]\\ &= \boxed{ \mathbf A_m \mathbf D^{\ell-1} \mathbf R_s (\mathbf D^H)^{\ell-1} \mathbf A_m^H + \sigma_n^2\mathbf I_m} \end{aligned} $$

因为 (\mathbf D) 是单位模对角矩阵：

$$ (\mathbf D^H)^{\ell-1} = \mathbf D^{-(\ell-1)} $$

所以也可写：

$$ \mathbf R_\ell = \mathbf A_m \mathbf D^{\ell-1} \mathbf R_s \mathbf D^{-(\ell-1)} \mathbf A_m^H + \sigma_n^2\mathbf I_m $$

8.7 前向平滑后的协方差

$$ \boxed{ \overline{\mathbf R}_{\text F} = \frac1L \sum_{\ell=1}^{L} \mathbf R_\ell} $$

代入：

$$ \boxed{ \overline{\mathbf R}_{\text F} = \mathbf A_m \widetilde{\mathbf R}_s \mathbf A_m^H + \sigma_n^2\mathbf I_m} $$

其中：

$$ \boxed{ \widetilde{\mathbf R}_s = \frac1L \sum_{\ell=1}^{L} \mathbf D^{\ell-1} \mathbf R_s \mathbf D^{-(\ell-1)}} $$

然后对：

$$ \overline{\mathbf R}_{\text F} $$

作特征值分解，再使用 MUSIC。

8.8 为什么平滑能解相干

原相干源在时间快拍上总保持固定比例，导致：

$$ \operatorname{rank}(\mathbf R_s)<P $$

不同平移子阵为各信源引入不同旋转因子：

$$ \mathbf D^{\ell-1} $$

将多个子阵协方差平均，相当于在空间上制造多组具有不同相位关系的“等效快拍”，使等效信号协方差：

$$ \widetilde{\mathbf R}_s $$

的秩提高。

8.9 秩恢复定理

设：

$$ r=\operatorname{rank}(\mathbf R_s) $$

在 (\mathbf D) 的对角元素互不相同等条件下：

$$ \boxed{ \operatorname{rank} (\widetilde{\mathbf R}_s) \ge \min\{r+L-1,P\}} $$

完全相干时：

$$ r=1 $$

若：

$$ \boxed{L\ge P} $$

则：

$$ \boxed{ \operatorname{rank} (\widetilde{\mathbf R}_s)=P} $$

但要用 (m) 元子阵的 MUSIC 分辨 (P) 个源，还需要噪声子空间至少有一维：

$$ \boxed{m>P} $$

因此前向空间平滑完全分辨 (P) 个完全相干源时，常需：

$$ L\ge P, \qquad m\ge P+1 $$

由：

$$ N=m+L-1 $$

得到：

$$ \boxed{N\ge2P} $$

这是前向平滑可分辨完全相干源数量的常见上限条件。

8.10 平滑次数与孔径的折中

增大 (L)：

平滑次数增多；
去相关能力通常增强；
但：
$$ m=N-L+1 $$
减小；
子阵孔径减小；
波束变宽，分辨能力可能下降。

必背句：空间平滑用阵列孔径换取协方差秩恢复。

8.11 前后向空间平滑

定义反序矩阵：

$$ \mathbf J = \begin{bmatrix} 0&\cdots&0&1\\ 0&\cdots&1&0\\ \vdots&\iddots&\vdots&\vdots\\ 1&0&\cdots&0 \end{bmatrix} $$

对 ULA 数据作共轭倒置：

$$ \boxed{ \mathbf x_{\text b} = \mathbf J\mathbf x^*} $$

对应导向矢量满足：

$$ \mathbf J\mathbf a^*(\theta) = c(\theta)\mathbf a(\theta) $$

其中 (c(\theta)) 是单位模复常数。因此共轭倒置后的数据与原数据张成相同的信号子空间。

常用前后向平滑形式：

$$ \boxed{ \overline{\mathbf R}_{\text{FB}} = \frac12 \left( \overline{\mathbf R}_{\text F} + \mathbf J \overline{\mathbf R}_{\text F}^* \mathbf J \right)} $$

也可按课件写成 (L) 个前向子阵和 (L) 个后向子阵协方差的总平均：

$$ \boxed{ \overline{\mathbf R}_{\text{FB}} = \frac1{2L} \sum_{\ell=1}^{L} \left( \mathbf R_\ell + \mathbf R_\ell^{\text b} \right)} $$

前后向平滑在阵元数不变时提供更多等效平滑数据，通常比只做前向平滑有更强的去相关能力。

8.12 空间平滑设计例题

有：

$$ N=8, \qquad P=3 $$

且 3 个源完全相干。

为恢复满秩，至少：

$$ L\ge3 $$

取：

$$ L=3 $$

则：

$$ m=N-L+1=6 $$

检查：

$$ m=6>P=3 $$

因此该划分理论上可恢复秩并保留 3 维噪声子空间。

也可取：

$$ L=4, \qquad m=5 $$

平滑次数更多，但子阵孔径更小。

9. CAPON、MUSIC、ESPRIT 与传统方法比较

9.1 学到什么程度

【必须掌握】

能从分辨力、信源数先验、谱峰含义、搜索方式、稳健性和阵列要求六方面比较。
会写 CAPON 在高 SNR 条件下与 MUSIC 的联系。

来源

子空间类方法课件 PDF 第 25～29、47 页。
第五章总讲义 PDF 第 19～23、43 页。
扫描旧题与答案 PDF 第 10～11 页。

9.2 方法比较表

方法	是否扫描	是否需要 (P)	分辨力	谱峰含义	主要条件/问题
干涉仪	否	否	单源精度可高	相位反演角度	相位模糊、通常单源
普通波束扫描	是	否	较低	匹配波束输出功率	受主瓣宽度限制
CAPON	是	否	高于普通扫描	最小方差输出功率	需协方差求逆，失配敏感
MUSIC	是	是	理想条件下很高	正交性伪谱，不是功率	相干源、低 SNR、模型误差敏感
ESPRIT	否	是	高	旋转因子解析测角	需要平移不变子阵

9.3 CAPON 与 MUSIC

课件结论：

相同理想条件下，MUSIC 分辨力通常优于 CAPON；
低信噪比、快拍较少时，CAPON 往往比 MUSIC 更稳健；
CAPON 不要求事先精确知道信源数；
MUSIC 必须划分信号子空间和噪声子空间；
CAPON 谱更接近输出功率；
MUSIC 谱只反映正交性。

9.4 高 SNR 条件下的联系

特征分解：

$$ \mathbf R^{-1} = \sum_{i=1}^{P} \frac1{\lambda_i} \mathbf u_i\mathbf u_i^H + \frac1{\sigma_n^2} \sum_{i=P+1}^{N} \mathbf u_i\mathbf u_i^H $$

当：

$$ \lambda_i\gg\sigma_n^2 $$

时：

$$ \frac1{\lambda_i} \ll \frac1{\sigma_n^2} $$

于是：

$$ \mathbf a^H\mathbf R^{-1}\mathbf a \approx \frac1{\sigma_n^2} \mathbf a^H\mathbf U_n\mathbf U_n^H\mathbf a $$

所以：

$$ \boxed{ P_{\text C}(\theta) \approx \sigma_n^2 P_{\text{MUSIC}}(\theta)} $$

两者在高 SNR、协方差精确时谱形趋近，但有限数据下仍可能有明显差别。

9.5 MUSIC 与 ESPRIT

MUSIC：

对任意已知阵列流形都可扫描；
需要设置角度网格；
精度受搜索步长影响；
易扩展到多维搜索，但计算量可能很大。

ESPRIT：

不需要谱峰搜索；
直接由特征值相角反演；
必须有平移不变子阵；
对两个子阵的一致性要求更高。

10. MATLAB 考试模板

10.1 公共数据模型

c = 3e8;
fc = 3e9;
lambda = c / fc;

N = 10;
d = 0.5 * lambda;
pos = (0:N-1).' * d;

theta_scan = -90:0.1:90;
A_scan = exp(-1j*2*pi/lambda * pos * sind(theta_scan));

% X: N x K，每一列为一个阵列快拍
K = size(X, 2);
Rhat = X * X' / K;
Rhat = (Rhat + Rhat') / 2;  % 消除数值上的非厄米误差

10.2 普通波束扫描

P_bf = real(sum(conj(A_scan) .* (Rhat * A_scan), 1));
P_bf = P_bf / max(P_bf);
P_bf_dB = 10*log10(P_bf + eps);

10.3 CAPON

delta = 1e-3 * trace(Rhat) / N;
Rload = Rhat + delta * eye(N);

% 不要显式计算 inv(Rload)
Z = Rload \ A_scan;
den = real(sum(conj(A_scan) .* Z, 1));

P_capon = 1 ./ max(den, eps);
P_capon = P_capon / max(P_capon);
P_capon_dB = 10*log10(P_capon + eps);

单个扫描角的最优权：

a = A_scan(:, idx);
v = Rload \ a;
w_capon = v / (a' * v);

10.4 MUSIC

source_num = P;

[V, D] = eig(Rhat, 'vector');
[D, idx] = sort(real(D), 'descend');
V = V(:, idx);

Es = V(:, 1:source_num);
En = V(:, source_num+1:end);

den = sum(abs(En' * A_scan).^2, 1);
P_music = 1 ./ max(real(den), eps);
P_music = P_music / max(P_music);
P_music_dB = 10*log10(P_music + eps);

投影矩阵写法：

Ps = Es * Es';
Pn = eye(N) - Ps;       % 等价于 En * En'

den = real(sum(conj(A_scan) .* (Pn * A_scan), 1));
P_music = 1 ./ max(den, eps);

10.4.1 2022 年二维 MUSIC 程序题的核心空格

程序题应至少能补出以下逻辑：

[V, D] = eig(Rx);
[d_vec, ind] = sort(real(diag(D)), 'descend');
V1 = V(:, ind);

Vs = V1(:, 1:sour_num);
Es = Vs * Vs';
En = eye(sensor_num) - Es;

% A(:,i) 是第 i 个二维搜索方向的导向矢量
P_music(i) = 1 / real(A(:,i)' * En * A(:,i));

二维导向矢量必须按题目给出的方位角、俯仰角定义构造。若采用常见三维坐标：

u = [cosd(ele).*cosd(azi);
     cosd(ele).*sind(azi);
     sind(ele)];

% position: sensor_num x 3
A = exp(-1j*2*pi/lambda * position * u);

若题目只给二维阵元坐标，必须从题图的方向余弦中取相应两个分量，不能机械照抄上述三维形式。

10.5 ESPRIT 方法 1

% X1, X2: Ns x K，两个相同平移子阵的快拍矩阵
Ns = size(X1, 1);
K = size(X1, 2);

Rxx = X1 * X1' / K;
Rxy = X1 * X2' / K;
Rxx = (Rxx + Rxx') / 2;

[V, lam] = eig(Rxx, 'vector');
lam = sort(real(lam), 'descend');

sigma2 = mean(lam(P+1:end));
Cxx = Rxx - sigma2 * eye(Ns);

% eig(A,B) 解 A*v = B*v*zeta
zeta_all = eig(Cxx, Rxy);
zeta_all = zeta_all(isfinite(zeta_all));

[~, idx] = sort(abs(abs(zeta_all) - 1), 'ascend');
zeta = zeta_all(idx(1:P));

sin_theta = angle(zeta) * lambda / (2*pi*Delta);
sin_theta = min(max(real(sin_theta), -1), 1);
theta_hat = sort(asind(sin_theta));

如果程序使用：

$$ \mathbf R_{yx} =E[\mathbf y\mathbf x^H] $$

或者导向矢量指数符号相反，旋转因子可能变为共轭，角度公式中的符号必须同步调整。

10.6 前向空间平滑 MUSIC

% X: N x K
% m: 子阵阵元数
N = size(X, 1);
K = size(X, 2);
L = N - m + 1;

Rss = zeros(m, m);

for ell = 1:L
    Xell = X(ell:ell+m-1, :);
    Rss = Rss + Xell * Xell' / K;
end

Rss = Rss / L;
Rss = (Rss + Rss') / 2;

% 用 m 元子阵导向矢量做 MUSIC
pos_m = (0:m-1).' * d;
A_m = exp(-1j*2*pi/lambda * pos_m * sind(theta_scan));

[V, D] = eig(Rss, 'vector');
[D, idx] = sort(real(D), 'descend');
V = V(:, idx);

En = V(:, P+1:end);
P_ss_music = 1 ./ max(sum(abs(En' * A_m).^2, 1), eps);

10.7 前后向空间平滑

J = fliplr(eye(m));
Rfb = 0.5 * (Rss + J * conj(Rss) * J);
Rfb = (Rfb + Rfb') / 2;

10.8 找谱峰

[pk, loc] = findpeaks(P_music, theta_scan, ...
    'SortStr', 'descend', ...
    'NPeaks', P);

theta_hat = sort(loc);

考试只要求步骤时，不必纠结 findpeaks 语法；写“寻找最大的 (P) 个显著局部峰”即可。

11. 最大似然、交替投影与加权子空间拟合

本节是次优先补充。2026 年第五章 G 课件已讲授，但当前 6 月 5 日复习大纲没有单独列出。

11.1 学到什么程度

【了解/熟悉】

知道确定性 ML 的基本假设和目标函数。
知道 AP 用坐标轮换把多维搜索化为多次一维搜索。
知道 WSSF 是用阵列流形子空间拟合估计信号子空间。
不要求优先背复杂 AP 递推或 WSSF 最优权矩阵。

来源

最大似然类 DOA 课件：PDF 第 3～17 页。

11.2 确定性最大似然模型

$$ \mathbf x(k) = \mathbf A(\boldsymbol\theta) \mathbf s(k) + \mathbf n(k) $$

主要假设：

(\mathbf A(\boldsymbol\theta)) 列满秩；
各快拍独立；
(\mathbf s(k)) 作为未知确定量；
噪声为零均值白高斯噪声。

给定角度时，信号最小二乘估计：

$$ \boxed{ \widehat{\mathbf s}(k) = \mathbf A^\dagger\mathbf x(k)} $$

其中：

$$ \mathbf A^\dagger = (\mathbf A^H\mathbf A)^{-1}\mathbf A^H $$

11.3 投影形式

阵列流形列空间投影：

$$ \boxed{ \mathbf P_A = \mathbf A (\mathbf A^H\mathbf A)^{-1} \mathbf A^H} $$

正交补投影：

$$ \boxed{ \mathbf P_A^\perp = \mathbf I-\mathbf P_A} $$

ML 目标可写成：

$$ \boxed{ \widehat{\boldsymbol\theta}_{\text{ML}} = \arg\min_{\boldsymbol\theta} \operatorname{tr} \left( \mathbf P_A^\perp \widehat{\mathbf R} \right)} $$

等价地：

$$ \boxed{ \widehat{\boldsymbol\theta}_{\text{ML}} = \arg\max_{\boldsymbol\theta} \operatorname{tr} \left( \mathbf P_A \widehat{\mathbf R} \right)} $$

几何意义：寻找一个由 (P) 个候选导向矢量张成的子空间，使阵列数据投影到该子空间外的误差最小。

11.4 为什么计算量大

有 (P) 个信号时，需要联合搜索：

$$ (\theta_1,\ldots,\theta_P) $$

若每个角度有 (G) 个网格点，穷举量级约为：

$$ G^P $$

因此多源 ML 通常需要更高效的优化算法。

11.5 交替投影 AP

AP 的基本思想：

给定 (P) 个角度初值；
固定其余 (P-1) 个角度；
只对第 (i) 个角度进行一维搜索；
依次更新所有角度；
重复迭代直到角度变化或目标函数变化足够小。

优点：

把一次 (P) 维搜索变成多次一维搜索；
计算量显著下降。

缺点：

对初值敏感；
可能收敛到局部最优；
需要设置停止条件。

11.6 子空间拟合与 WSSF

设 (\widehat{\mathbf U}_s) 为估计信号子空间，希望找到：

$$ \mathbf A(\boldsymbol\theta)\mathbf T $$

拟合 (\widehat{\mathbf U}_s)：

$$ \boxed{ \min_{\boldsymbol\theta,\mathbf T} \| (\widehat{\mathbf U}_s - \mathbf A\mathbf T) \mathbf W^{1/2} \|_F^2} $$

消去 (\mathbf T) 后可写成：

$$ \boxed{ \min_{\boldsymbol\theta} \operatorname{tr} \left[ \mathbf W \widehat{\mathbf U}_s^H \mathbf P_A^\perp \widehat{\mathbf U}_s \right]} $$

(\mathbf W) 用于给不同信号子空间方向加权。课件重点是理解统一的“子空间拟合”框架，具体最优权形式不在当前大纲核心范围。

12. 高频推导与标准答题模板

12.1 证明真实导向矢量与噪声子空间正交

已知：

$$ \operatorname{span}(\mathbf U_s) = \operatorname{span}(\mathbf A) $$

因此对任意真实方向 (\theta_p)，存在系数向量 (\mathbf c_p)，使：

$$ \mathbf a(\theta_p) = \mathbf U_s\mathbf c_p $$

又因为：

$$ \mathbf U_n^H\mathbf U_s=\mathbf0 $$

所以：

$$ \boxed{ \mathbf U_n^H\mathbf a(\theta_p) = \mathbf U_n^H\mathbf U_s\mathbf c_p = \mathbf0} $$

12.2 CAPON 谱推导写法

从：

$$ \min_{\mathbf w} \mathbf w^H\mathbf R\mathbf w, \qquad \mathbf w^H\mathbf a=1 $$

得到：

$$ \mathbf w = \frac{\mathbf R^{-1}\mathbf a} {\mathbf a^H\mathbf R^{-1}\mathbf a} $$

代回输出功率：

$$ \begin{aligned} \mathbf w^H\mathbf R\mathbf w &= \frac{ \mathbf a^H\mathbf R^{-1} \mathbf R \mathbf R^{-1}\mathbf a} {(\mathbf a^H\mathbf R^{-1}\mathbf a)^2}\\ &= \boxed{ \frac1{\mathbf a^H\mathbf R^{-1}\mathbf a}} \end{aligned} $$

12.3 空间平滑协方差推导

第 (\ell) 个子阵：

$$ \mathbf x_\ell = \mathbf A_m \mathbf D^{\ell-1} \mathbf s + \mathbf n_\ell $$

于是：

$$ \begin{aligned} \mathbf R_\ell &= E[ \mathbf x_\ell \mathbf x_\ell^H]\\ &= \mathbf A_m \mathbf D^{\ell-1} E[\mathbf s\mathbf s^H] (\mathbf D^H)^{\ell-1} \mathbf A_m^H + E[\mathbf n_\ell\mathbf n_\ell^H]\\ &= \boxed{ \mathbf A_m \mathbf D^{\ell-1} \mathbf R_s \mathbf D^{-(\ell-1)} \mathbf A_m^H + \sigma_n^2\mathbf I_m} \end{aligned} $$

平均：

$$ \overline{\mathbf R}_{\text F} = \frac1L \sum_{\ell=1}^{L}\mathbf R_\ell $$

整理得：

$$ \boxed{ \overline{\mathbf R}_{\text F} = \mathbf A_m \left[ \frac1L \sum_{\ell=1}^{L} \mathbf D^{\ell-1} \mathbf R_s \mathbf D^{-(\ell-1)} \right] \mathbf A_m^H + \sigma_n^2\mathbf I_m} $$

12.4 空间平滑原理标准答案

相干源使信号协方差矩阵降秩，导致协方差矩阵的大特征值个数小于实际信源数，MUSIC 无法建立正确维数的信号和噪声子空间。前向空间平滑把 ULA 划分为多个重叠平移子阵，不同子阵为各信源引入不同的空间旋转因子。对各子阵协方差矩阵求平均后，等效信号协方差矩阵的秩提高；完全相干时，当子阵数 (L\ge P) 且子阵长度 (m>P) 时，可恢复 (P) 维信号子空间，再使用 MUSIC 估计 DOA。

13. 历年真题型专项训练

13.1 2021 年 CAPON 步骤题

题型

给出 CAPON 高分辨测向步骤。

满分答案

用 (K) 个快拍估计：
$$ \widehat{\mathbf R} = \frac1K\sum_{k=1}^{K} \mathbf x(k)\mathbf x^H(k) $$
对每个搜索角 (\theta) 构造导向矢量 (\mathbf a(\theta))。
求解最小方差无失真优化：
$$ \min_{\mathbf w} \mathbf w^H\widehat{\mathbf R}\mathbf w, \quad \mathbf w^H\mathbf a(\theta)=1 $$
最优权：
$$ \mathbf w_{\text C}(\theta) = \frac{ \widehat{\mathbf R}^{-1}\mathbf a(\theta)} {\mathbf a^H(\theta) \widehat{\mathbf R}^{-1} \mathbf a(\theta)} $$
计算 CAPON 谱：
$$ P_{\text C}(\theta) = \frac1{ \mathbf a^H(\theta) \widehat{\mathbf R}^{-1} \mathbf a(\theta)} $$
搜索显著局部峰，峰位置为 DOA。

13.2 2021 年 MUSIC 步骤题

满分答案

估计样本协方差 (\widehat{\mathbf R})。
对其作特征值分解并按特征值降序排列。
用 (P) 个大特征值对应特征向量组成信号子空间，用其余特征向量组成噪声子空间 (\mathbf U_n)。
对每个搜索角构造 (\mathbf a(\theta))。
计算：
$$ P_{\text{MUSIC}}(\theta) = \frac1{ \mathbf a^H(\theta) \mathbf U_n\mathbf U_n^H \mathbf a(\theta)} $$
取最大的 (P) 个显著谱峰位置作为 DOA。

13.3 2022 年 MUSIC 程序题

应熟练补出：

[V, D] = eig(Rx);
[d_vec, ind] = sort(real(diag(D)), 'descend');
V1 = V(:, ind);

Vs = V1(:, 1:sour_num);
Es = Vs * Vs';
En = eye(sensor_num) - Es;

P_music(i) = 1 / real(A(:,i)' * En * A(:,i));

高频扣分点：

特征值排序后忘记同步重排特征向量；
把大特征向量当噪声子空间；
忘记共轭转置；
二维导向矢量方向余弦写错；
使用：
```
A.' 
```
代替复数共轭转置：
```
A'
```

13.4 2022 年前向空间平滑题

设 (N) 元 ULA 接收 (P) 个窄带远场信号，子阵长度为 (m)，子阵数：

$$ L=N-m+1 $$

（1）写 (\mathbf D)

若题目导向矢量使用正指数：

$$ \boxed{ \mathbf D = \operatorname{diag} \left[ e^{j\frac{2\pi d}{\lambda}\sin\theta_1}, \ldots, e^{j\frac{2\pi d}{\lambda}\sin\theta_P} \right]} $$

（2）写平滑协方差

$$ \boxed{ \overline{\mathbf R} = \frac1L \sum_{\ell=1}^{L} \mathbf R_\ell} $$

$$ \boxed{ \mathbf R_\ell = \mathbf A_m \mathbf D^{\ell-1} \mathbf R_s \mathbf D^{-(\ell-1)} \mathbf A_m^H + \sigma_n^2\mathbf I_m} $$

因此：

$$ \boxed{ \overline{\mathbf R} = \mathbf A_m \widetilde{\mathbf R}_s \mathbf A_m^H + \sigma_n^2\mathbf I_m} $$

（3）说明原理

答第 12.4 节标准答案。

13.5 ESPRIT 方法 1 计算题

已知：

$$ \lambda=0.3\text{ m}, \qquad \Delta=0.1\text{ m} $$

一个旋转因子：

$$ \zeta=e^{j\pi/3} $$

则：

$$ \sin\theta = \frac{0.3} {2\pi(0.1)} \frac{\pi}{3} = 0.5 $$

$$ \boxed{\theta=30^\circ} $$

13.6 判断题

题 1

MUSIC 谱峰越高，表示该方向信号功率一定越大。

答案：错。MUSIC 谱峰主要反映与噪声子空间的正交程度。

题 2

CAPON 测向不需要事先精确知道信源数。

答案：对。但做峰值筛选时仍可能需要阈值或目标数信息。

题 3

ESPRIT 不需要角度扫描，所以也不需要任何阵列结构条件。

答案：错。ESPRIT 依赖平移不变子阵结构。

题 4

前向空间平滑的子阵数越多越好。

答案：错。子阵数增加会使子阵长度和孔径减小，存在折中。

题 5

完全相干的 (P) 个信号使 (\mathbf R_s) 的秩降为 1。

答案：对。

14. 第五章自测卷

建议限时 60 分钟，总分 100 分。

一、填空题（每题 5 分，共 30 分）

CAPON 空间谱为 ______。
MUSIC 的噪声投影矩阵为 ______。
真实 DOA 满足的子空间正交关系为 ______。
ESPRIT 旋转因子为 ______。
前向空间平滑子阵数为 ______。
完全相干源使用前向空间平滑恢复满秩的子阵数条件为 ______。

二、判断并改错（每题 5 分，共 20 分）

MUSIC 必须对样本协方差求逆。
CAPON 和 MUSIC 都必须事先准确知道信源数。
ESPRIT 方法 1 中应选择模值最接近 1 的 (P) 个广义特征值。
空间平滑在恢复秩的同时不会损失任何阵列孔径。

三、简答题（每题 10 分，共 20 分）

比较普通波束扫描、CAPON 和 MUSIC。
说明相干源使 MUSIC 失效的原因，以及空间平滑如何解决。

四、推导与程序（每题 15 分，共 30 分）

从 CAPON 优化问题推导最优权和空间谱。
写出 ESPRIT 方法 1 的完整步骤和角度反演公式。

自测答案

一、填空

$$ \frac1{ \mathbf a^H(\theta) \widehat{\mathbf R}^{-1} \mathbf a(\theta)} $$

$$ \mathbf P_n = \mathbf U_n\mathbf U_n^H $$

$$ \mathbf U_n^H\mathbf a(\theta_p) = \mathbf0 $$

$$ \zeta_i = e^{j\frac{2\pi}{\lambda} \Delta\sin\theta_i} $$

$$ L=N-m+1 $$

$$ L\ge P $$

同时用 MUSIC 还需 (m>P)。

二、判断

错。MUSIC 对协方差作特征分解；CAPON 需要求解逆矩阵作用。
错。MUSIC 需要 (P)，CAPON 不要求事先准确给出 (P)。
对。
错。平滑增加子阵数时会缩短子阵、损失有效孔径。

三、简答

普通扫描用固定匹配波束，简单稳健但分辨力受波束宽度限制；CAPON 对每个角度求最小方差无失真权，分辨力更高、无需精确源数，但需要协方差求逆；MUSIC 利用导向矢量与噪声子空间正交形成尖锐伪谱，理想分辨力最高，但需要源数估计，并对相干、低 SNR 和模型误差敏感。
相干源使 (\mathbf R_s) 降秩，协方差的大特征值个数小于实际源数，信号子空间维数不足。空间平滑对多个平移重叠子阵的协方差求平均，不同旋转因子提高等效信号协方差的秩，从而重新建立正确维数的信号和噪声子空间。

四、推导与程序

见第 5.3～5.5 节。
见第 7.4 节。

15. 高频易错点

MUSIC 的谱峰不是信号真实功率。
CAPON 谱分母是：
$$ \mathbf a^H\mathbf R^{-1}\mathbf a $$
不是 (\mathbf a^H\mathbf R\mathbf a)。
CAPON 谱对分母取倒数。
MUSIC 分母使用噪声子空间，不是信号子空间。
MUSIC 必须按特征值大小同步重排特征向量。
大特征值对应信号子空间，小特征值对应噪声子空间。
“信号子空间等于阵列流形空间”不等于 (\mathbf U_s=\mathbf A)。
样本条件下小特征值不会严格相等。
MUSIC 通常需要已知或估计信源数。
CAPON 不要求精确源数，但需要协方差可逆或加载。
不要在 MATLAB 中优先写 inv(R)*a，应写 R\a。
复数向量内积必须使用共轭转置。
干涉仪的相位正负号取决于互相关次序和导向矢量约定。
阵元间距增大提高相位测角灵敏度，但增加模糊。
和差比只在主瓣中心附近近似线性。
ESPRIT 方法 1 使用两个相同的平移子阵。
ESPRIT 当前大纲要求的是“方法 1”，不要只写通用 LS-ESPRIT。
ESPRIT 方法 1 先估计噪声功率，再计算：
$$ \mathbf C_{xx} = \mathbf R_{xx} - \sigma_n^2\mathbf I $$
矩阵束选择的是模值最接近 1 的 (P) 个有限广义特征值。
角度反演使用广义特征值的相角，不是模值。
ESPRIT 平移距离过大会出现相位模糊。
相干源降秩的是信号协方差 (\mathbf R_s)，不是阵列流形矩阵必然降秩。
前向空间平滑：
$$ L=N-m+1 $$
第 (\ell) 个子阵使用：
$$ \mathbf D^{\ell-1} $$
不是 (\mathbf D^\ell)。
空间平滑的噪声矩阵维数为：
$$ m\times m $$
完全相干时 (L\ge P) 只保证秩恢复条件，还要有 (m>P) 才能保留 MUSIC 噪声子空间。
平滑次数增多并非无条件更好，因为子阵孔径会减小。
做平滑 MUSIC 时必须使用 (m) 元子阵导向矢量，不能继续使用原 (N) 元导向矢量。
前后向平滑中的后向数据是倒置再取共轭。
ML/AP/WSSF 是课件补充，时间不足时不能挤占大纲 5.1～5.5 的复习时间。

16. 考前十分钟背诵版

模型：(\mathbf x=\mathbf A\mathbf s+\mathbf n)。
协方差：(\mathbf R=\mathbf A\mathbf R_s\mathbf A^H+\sigma_n^2I)。
两阵元相位差：(\Delta\phi=\pm2\pi d\sin\theta/\lambda)。
普通扫描谱：(\mathbf a^H\widehat R\mathbf a)。
和差测角：和波束主瓣、差波束零点、比值经鉴角曲线求偏角。
CAPON：扫描方向单位增益，总输出功率最小。
CAPON 权：(R^{-1}a/(a^HR^{-1}a))。
CAPON 谱：(1/(a^HR^{-1}a))。
大特征值对应信号子空间，小特征值对应噪声子空间。
(\operatorname{span}(U_s)=\operatorname{span}(A))。
真实方向：(U_n^Ha(\theta_p)=0)。
MUSIC：(1/(a^HU_nU_n^Ha))。
MUSIC 需要信源数，谱峰不是功率。
相干、低 SNR、有限快拍、色噪声、阵列误差会伤害 MUSIC。
ESPRIT：两个相同平移子阵。
(D=\operatorname{diag}(e^{j2\pi\Delta\sin\theta_i/\lambda}))。
方法 1：算 (R_{xx},R_{xy})。
小特征值平均估计 (\sigma_n^2)。
(C_{xx}=R_{xx}-\sigma_n^2I)。
求矩阵束 ({C_{xx},R_{xy}}) 广义特征值。
选 (P) 个模最接近 1 的 (\zeta_i)。
(\theta_i=\arcsin[\lambda\angle\zeta_i/(2\pi\Delta)])。
前向平滑：(L=N-m+1)。
第 (\ell) 子阵：(x_\ell=A_mD^{\ell-1}s+n_\ell)。
平滑协方差：(\overline R=L^{-1}\sum R_\ell)。
完全相干：(\operatorname{rank}(R_s)=1)。
秩恢复：(\operatorname{rank}(\widetilde R_s)\ge\min{r+L-1,P})。
完全相干恢复满秩：(L\ge P)。
MUSIC 还需：(m>P)。
空间平滑用孔径换秩恢复。

17. 资料索引与可靠性说明

资料	第五章用途	可靠性与注意事项
20260605.pdf	当前考试范围，PDF 第 9～10 页	最高优先级；明确要求传统测向、CAPON、MUSIC、ESPRIT 方法 1、空间平滑
第五章 A：传统测向	和差测角、波束扫描、干涉仪	和差测角推导很长；当前大纲以原理和核心表达式为主
第五章 BCD：子空间类方法	子空间、MUSIC、MNV、CAPON、ESPRIT	当前子空间算法的主课件；ESPRIT 方法 1 步骤在 PDF 第 37 页
第五章总讲义	传统方法、子空间、MUSIC/CAPON、ESPRIT、信源数估计	较早版本，章节编号和当前新课件不完全一致
相干源高分辨处理	相干源、前向/后向空间平滑、秩恢复	文件名为第六章，但当前大纲将空间平滑列入第五章 5.5
第五章 G：最大似然类	ML、AP、WSSF	2026 年已讲，但当前大纲未单列，本文作为次优先补充
2021 年试题.pdf>)	CAPON/MUSIC 算法步骤	原生文字 PDF；第 4～5 页直接考算法步骤
2022 年试题(1).pdf>)	MUSIC 程序、前向空间平滑	图片式 PDF；第 4～7 页是第五章高价值真题
扫描旧题与答案	CAPON 推导、方法比较、历史题型	“2024-06-07”是扫描文件名，不代表试题年份；答案仅作交叉核对
阵列信号总汇编	旧试卷和手写答案汇总	重复多、年份混杂、手写答案质量不一，优先级最低

17.1 本文采用的统一与纠错

原资料对导向矢量指数正负号存在不同约定，本文统一给出一种约定，并在干涉仪、(\mathbf D) 和 ESPRIT 处注明同步变号规则。
原资料常同时使用 (M) 表示快拍数和子阵长度，本文改用 (K) 表示快拍数、(m) 表示子阵长度。
当前课件 ESPRIT 方法 1 使用 (\mathbf R_{xy}=E[\mathbf x\mathbf y^H])。若程序改用 (\mathbf R_{yx})，旋转因子会共轭，必须同步修正角度符号。
当前课件写 ESPRIT 无模糊条件为 (\Delta<0.5\lambda)，本文按课件口径保留。
空间平滑文件虽然命名为第六章，但按当前大纲归入第五章。
ML/AP/WSSF 不在当前复习大纲的明确条目中，因此不把复杂推导列为必须掌握。

18. 本章最终达标标准

[ ] 能写两阵元干涉相位和无模糊测角式。
[ ] 能写普通波束扫描功率并说明分辨力限制。
[ ] 能完整解释和差测角原理。
[ ] 能写 CAPON 优化问题、权向量和空间谱。
[ ] 能在 2 分钟内默写 CAPON 测向步骤。
[ ] 能从协方差模型解释信号和噪声子空间。
[ ] 能证明 (\mathbf U_n^H\mathbf a(\theta_p)=0)。
[ ] 能写 MUSIC 空间谱的两种等价形式。
[ ] 能在 2 分钟内默写 MUSIC 测向步骤。
[ ] 能完成 2022 年 MUSIC 程序填空核心代码。
[ ] 能说明 MUSIC 谱峰为什么不等于信号功率。
[ ] 能解释信源数欠估计和过估计的后果。
[ ] 能写两个平移子阵的 ESPRIT 数据模型。
[ ] 能写旋转矩阵 (\mathbf D)。
[ ] 能完整默写 ESPRIT 方法 1 的四步流程。
[ ] 能由 (\zeta_i) 计算 (\theta_i)。
[ ] 能说明 ESPRIT 的无模糊条件。
[ ] 能解释相干源为什么使 MUSIC 失效。
[ ] 能写第 (\ell) 个平滑子阵的数据和协方差。
[ ] 能推导前向平滑后的平均协方差。
[ ] 能使用 (\operatorname{rank}(\widetilde R_s)\ge\min{r+L-1,P})。
[ ] 能判断 (L\ge P)、(m>P) 是否同时满足。
[ ] 能解释空间平滑中的“去相关—孔径损失”折中。
[ ] 能写前后向平滑的基本公式。
[ ] 能比较普通扫描、CAPON、MUSIC 和 ESPRIT。
[ ] 能独立运行或手写第 10 节程序模板。
[ ] 第 14 节自测达到 80 分以上。

第五章 阵列波达方向估计与高分辨处理：零基础快速复习

0. 使用方法、范围与符号

0.1 掌握等级

0.2 时间紧时的复习路线

0.3 当前大纲与复习深度

0.4 本章资料范围的口径说明

0.5 统一符号

0.6 角度和指数符号约定

1. 一页必背清单

1.1 阵列接收模型

1.2 两阵元干涉仪

1.3 波束形成扫描测向

1.4 CAPON

1.5 子空间

1.6 MUSIC

1.7 ESPRIT 方法 1

1.8 前向空间平滑

2. DOA 测向问题和传统方法总览

2.1 学到什么程度

2.2 DOA 是什么

2.3 三类传统测向方法

3. 传统测向方法

3.1 两阵元干涉仪

3.1.1 学到什么程度

3.1.2 两阵元模型

3.1.3 精度与模糊的矛盾

3.1.4 多基线解模糊

3.2 波束形成扫描测向

3.2.1 学到什么程度

3.2.2 常规扫描

3.2.3 加窗

3.3 和差测角

3.3.1 学到什么程度

3.3.2 核心原理

3.3.3 答题模板

4. 子空间高分辨测向的数学基础

4.1 学到什么程度

4.2 接收模型

4.3 协方差模型

4.4 特征分解

4.5 为什么信号子空间等于阵列流形张成的空间

4.6 正交性

4.7 样本条件下会发生什么

5. CAPON 高分辨测向

5.1 学到什么程度

5.2 核心思想

5.3 优化问题

5.4 最优权

5.5 CAPON 谱

5.6 CAPON 测向标准步骤

5.7 为什么分辨力高于普通扫描

5.8 CAPON 的条件与弱点

6. MUSIC 超分辨测向

6.1 学到什么程度

6.2 核心思想

6.3 MUSIC 标准步骤

6.4 信号和噪声投影矩阵

6.5 为什么 MUSIC 谱峰不代表信号真实功率

6.6 信源数估计错误

欠估计：(\widehat P<P)

过估计：(\widehat P>P)

6.7 MUSIC 的主要失效条件

6.8 一维噪声子空间 MNV

7. ESPRIT 方法 1

7.1 学到什么程度

7.2 平移不变性

7.3 自相关和互相关

7.4 ESPRIT 方法 1 标准步骤

7.5 相位无模糊条件

7.6 旋转因子计算例题

7.7 ESPRIT 的优缺点

8. 相干源与空间平滑

8.1 学到什么程度

8.2 什么是相干源

8.3 前向空间平滑的阵列划分

8.4 平移矩阵 (\mathbf D)

8.5 各子阵数据模型

8.6 各子阵协方差

8.7 前向平滑后的协方差

8.8 为什么平滑能解相干

第五章阵列波达方向估计与高分辨处理：零基础快速复习